Algebraic Systems

در دهه 1920، جبر به عنوان علم مطالعه خصوصیات مجموعه هایی که بر روی آنها سیستم خاصی از عملیات تعریف شده است پذیرفته شده بود. با این حال، تا دهه چهل، اکثریت قاطع جبرگرایان صرفاً چند نوع ساختار جبری را بررسی می کردند. اینها در درجه اول گروه ها، حلقه ها و شبکه ها بودند. اولین کار نظری کلی که به مجموعه های دلخواه با عملیات دلخواه می پردازد به دلیل G. Birkhoff (1935) است. در همین سالها، A. Tarski مقاله مهمی را منتشر کرد که در آن اصول اولیه نظریه مجموعه های مجهز به یک سیستم روابط را فرموله کرد. اکنون به چنین مجموعه هایی مدل می گویند. برخلاف جبر، نظریه مدل از دستگاه منطق ریاضی استفاده فراوانی کرد. امکان استفاده مثمر ثمر از منطق نه تنها برای مطالعه جبرهای جهانی بلکه بخشهای کلاسیک تر جبر مانند نظریه گروهی توسط نویسنده در سال 1936 پوشش داده شد. در طی بیست و پنج سال بعد، به تدریج روشن شد که این نظریه جبرهای جهانی و نظریه مدل علیرغم تفاوت معینی در ماهیت مسائل، بسیار نزدیک به هم مرتبط هستند. و بنابراین معنی دار است که از یک نظریه واحد از سیستم های جبری صحبت کنیم که با مجموعه هایی سروکار دارد که بر روی آنها یک سری عملیات و روابط (نظام های جبری) تعریف شده است. دستگاه صوری این نظریه زبان محاسبات به اصطلاح محمول کاربردی است. بنابراین این نظریه را می توان مرز منطق و جبر در نظر گرفت.

As far back as the 1920's, algebra had been accepted as the science studying the properties of sets on which there is defined a particular system of operations. However up until the forties the overwhelming majority of algebraists were investigating merely a few kinds of algebraic structures. These were primarily groups, rings and lattices. The first general theoretical work dealing with arbitrary sets with arbitrary operations is due to G. Birkhoff (1935). During these same years, A. Tarski published an important paper in which he formulated the basic prin­ ciples of a theory of sets equipped with a system of relations. Such sets are now called models. In contrast to algebra, model theory made abun­ dant use of the apparatus of mathematical logic. The possibility of making fruitful use of logic not only to study universal algebras but also the more classical parts of algebra such as group theory was dis­ covered by the author in 1936. During the next twenty-five years, it gradually became clear that the theory of universal algebras and model theory are very intimately related despite a certain difference in the nature of their problems. And it is therefore meaningful to speak of a single theory of algebraic systems dealing with sets on which there is defined a series of operations and relations (algebraic systems). The formal apparatus of the theory is the language of the so-called applied predicate calculus. Thus the theory can be considered to border on logic and algebra.