Algebraic Operads

در بسیاری از حوزه‌های ریاضی، برخی از «عملیات عالی‌تر» به وجود می‌آیند. اینها آنقدر مهم شده اند که چندین پروژه تحقیقاتی به این عبارات اشاره می کنند. عملیات بالاتر انواع جدیدی از جبرها را تشکیل می دهند. کلید درک و مقایسه آنها، برای ایجاد تغییرات ثابت در کنش آنها، نظریه اپراد است. این دیدگاهی است که در توپولوژی جبری قدمتی 40 ساله دارد، اما روند جدید ظهور آن در چندین حوزه دیگر مانند هندسه جبری، فیزیک ریاضی، هندسه دیفرانسیل و ترکیبیات است. جلد حاضر اولین رویکرد جامع و سیستماتیک به اپرادهای جبری است. اپراد وسیله ای جبری است که برای مطالعه انواع جبرها (تداعی، جابجایی، دروغ، پواسون، A-بی نهایت و غیره) از دیدگاه مفهومی کار می کند. کتاب این موضوع را با تاکید بر نظریه دوگانگی کوزول ارائه می‌کند. پس از درمان مدرن دوگانگی کوزول برای جبرهای انجمنی، این نظریه به اپرادها نیز تعمیم داده شد. کاربردهایی برای جبر هموتوپی داده شده است، به عنوان مثال قضیه انتقال هموتوپی. اگرچه مفاهیم ضروری جبر یادآوری می شود، انتظار می رود خوانندگان با جبر همسانی ابتدایی آشنا باشند. هر فصل با یک خلاصه و تمرین مفید به پایان می رسد. یک فصل کامل به مثال ها اختصاص داده شده است و ارقام متعددی در آن گنجانده شده است.

پس از یک فصل سطح پایین در مورد جبر، قابل دسترسی برای دانشجویان (پیشرفته) کارشناسی، سطح به تدریج از طریق کتاب افزایش می یابد. با این حال، نویسندگان تمام تلاش خود را انجام داده اند تا آن را برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی مناسب کنند: سه ضمیمه نتایج اساسی مورد نیاز برای درک فصل های مختلف را بررسی می کنند. از آنجایی که جبر عالی در چندین زمینه تحقیقاتی مانند نظریه تغییر شکل، هندسه جبری، نظریه نمایش، هندسه دیفرانسیل، ترکیبات جبری، و فیزیک ریاضی ضروری می شود، این کتاب می تواند به عنوان یک کار مرجع توسط محققان نیز استفاده شود.

In many areas of mathematics some “higher operations” are arising. These havebecome so important that several research projects refer to such expressions. Higher operationsform new types of algebras. The key to understanding and comparing them, to creating invariants of their action is operad theory. This is a point of view that is 40 years old in algebraic topology, but the new trend is its appearance in several other areas, such as algebraic geometry, mathematical physics, differential geometry, and combinatorics. The present volume is the first comprehensive and systematic approach to algebraic operads. An operad is an algebraic device that serves to study all kinds of algebras (associative, commutative, Lie, Poisson, A-infinity, etc.) from a conceptual point of view. The book presents this topic with an emphasis on Koszul duality theory. After a modern treatment of Koszul duality for associative algebras, the theory is extended to operads. Applications to homotopy algebra are given, for instance the Homotopy Transfer Theorem. Although the necessary notions of algebra are recalled, readers are expected to be familiar with elementary homological algebra. Each chapter ends with a helpful summary and exercises. A full chapter is devoted to examples, and numerous figures are included.

After a low-level chapter on Algebra, accessible to (advanced) undergraduate students, the level increases gradually through the book. However, the authors have done their best to make it suitable for graduate students: three appendices review the basic results needed in order to understand the various chapters. Since higher algebra is becoming essential in several research areas like deformation theory, algebraic geometry, representation theory, differential geometry, algebraic combinatorics, and mathematical physics, the book can also be used as a reference work by researchers.