Algebraic Geometry 2002/2003 (two semesters)

0.1. What is algebraic geometry?......Page 4
0.2. Exercises......Page 9
1.1. Algebraic sets and the Zariski topology......Page 11
1.2. Hilbert\'s Nullstellensatz......Page 14
1.3. Irreducibility and dimension......Page 16
1.4. Exercises......Page 19
2.1. Functions on affine varieties......Page 21
2.2. Sheaves......Page 24
2.3. Morphisms between affine varieties......Page 26
2.4. Prevarieties......Page 30
2.5. Varieties......Page 34
2.6. Exercises......Page 35
3.1. Projective spaces and projective varieties......Page 38
3.2. Cones and the projective Nullstellensatz......Page 42
3.3. Projective varieties as ringed spaces......Page 43
3.4. The main theorem on projective varieties......Page 47
3.5. Exercises......Page 50
4.1. The dimension of projective varieties......Page 53
4.2. The dimension of varieties......Page 57
4.3. Blowing up......Page 60
4.4. Smooth varieties......Page 66
4.5. The 27 lines on a smooth cubic surface......Page 71
4.6. Exercises......Page 74
5.1. Affine schemes......Page 77
5.2. Morphisms and locally ringed spaces......Page 81
5.3. Schemes and prevarieties......Page 83
5.4. Fiber products......Page 85
5.5. Projective schemes......Page 89
5.6. Exercises......Page 92
6.1. Hilbert polynomials......Page 95
6.2. Bézout\'s theorem......Page 99
6.3. Divisors on curves......Page 104
6.4. The group structure on a plane cubic curve......Page 107
6.5. Plane cubic curves as complex tori......Page 111
6.6. Where to go from here......Page 115
6.7. Exercises......Page 120
7.1. Sheaves and sheafification......Page 123
7.2. Quasi-coherent sheaves......Page 130
7.3. Locally free sheaves......Page 134
7.4. Differentials......Page 136
7.5. Line bundles on curves......Page 140
7.6. The Riemann-Hurwitz formula......Page 144
7.7. The Riemann-Roch theorem......Page 146
7.8. Exercises......Page 150
8.1. Motivation and definitions......Page 152
8.2. The long exact cohomology sequence......Page 155
8.3. The Riemann-Roch theorem revisited......Page 158
8.4. The cohomology of line bundles on projective spaces......Page 162
8.5. Proof of the independence of the affine cover......Page 165
8.6. Exercises......Page 166
9.1. Chow groups......Page 168
9.2. Proper push-forward of cycles......Page 174
9.3. Weil and Cartier divisors......Page 179
9.4. Intersections with Cartier divisors......Page 184
9.5. Exercises......Page 188
10.1. Projective bundles......Page 191
10.2. Segre and Chern classes of vector bundles......Page 194
10.3. Properties of Chern classes......Page 197
10.4. Statement of the Hirzebruch-Riemann-Roch theorem......Page 203
10.5. Proof of the Hirzebruch-Riemann-Roch theorem......Page 206
10.6. Exercises......Page 212
References......Page 214