Algebraic Complexity Theory: With the Collaboration of Thomas Lickteig

حل الگوریتمی مسائل همیشه یکی از دغدغه های اصلی ریاضیات بوده است. برای مدت طولانی چنین راه حل هایی بر اساس یک مفهوم شهودی از الگوریتم بود. تنها در این قرن است که مسائل فرا ریاضی منجر به جستجوی فشرده برای رسمی سازی دقیق و به اندازه کافی کلی از مفاهیم محاسبه پذیری و الگوریتم شده است. در دهه 1930، تعدادی از مفاهیم کاملاً متفاوت برای این منظور ارائه شد، مانند ماشین‌های تورینگ، برنامه‌های WHILE، توابع بازگشتی، الگوریتم‌های مارکوف و سیستم‌های Thue. معلوم شد که همه این مفاهیم معادل هستند، واقعیتی که در تز چرچ خلاصه شده است، که می گوید تعاریف حاصل، رسمی سازی کافی از مفهوم شهودی محاسبه پذیری را تشکیل می دهند. این تاثیر بسیار زیادی داشته و دارد. اول از همه، با این مفاهیم می توان ثابت کرد که مسائل مختلف از نظر الگوریتمی قابل حل نیستند. از جمله این مسائل غیرقابل تصمیم گیری می توان به مسئله توقف، نظریه کلمه کلمه، مسئله مکاتبات پست و مسئله دهم هیلبرت اشاره کرد. ثانیاً، مفاهیمی مانند ماشین‌های تورینگ و برنامه‌های WHILE تأثیر زیادی بر توسعه اولین رایانه‌ها و زبان‌های برنامه‌نویسی داشتند. در عصر رایانه های دیجیتال، مسئله یافتن راه حل های کارآمد برای مسائل قابل حل الگوریتمی اهمیت فزاینده ای پیدا کرده است. علاوه بر این، این واقعیت که برخی از مسائل را می توان بسیار کارآمد حل کرد، در حالی که به نظر می رسد برخی دیگر از همه تلاش ها برای یافتن راه حلی کارآمد سرپیچی می کنند، نیاز به درک عمیق تری از دشواری محاسباتی ذاتی مسائل دارد.

The algorithmic solution of problems has always been one of the major concerns of mathematics. For a long time such solutions were based on an intuitive notion of algorithm. It is only in this century that metamathematical problems have led to the intensive search for a precise and sufficiently general formalization of the notions of computability and algorithm. In the 1930s, a number of quite different concepts for this purpose were pro­ posed, such as Turing machines, WHILE-programs, recursive functions, Markov algorithms, and Thue systems. All these concepts turned out to be equivalent, a fact summarized in Church's thesis, which says that the resulting definitions form an adequate formalization of the intuitive notion of computability. This had and continues to have an enormous effect. First of all, with these notions it has been possible to prove that various problems are algorithmically unsolvable. Among of group these undecidable problems are the halting problem, the word problem theory, the Post correspondence problem, and Hilbert's tenth problem. Secondly, concepts like Turing machines and WHILE-programs had a strong influence on the development of the first computers and programming languages. In the era of digital computers, the question of finding efficient solutions to algorithmically solvable problems has become increasingly important. In addition, the fact that some problems can be solved very efficiently, while others seem to defy all attempts to find an efficient solution, has called for a deeper under­ standing of the intrinsic computational difficulty of problems.