Algebraic and Computational Aspects of Real Tensor Ranks

این کتاب خلاصه‌های جامعی از جنبه‌های نظری (جبری) و محاسباتی رتبه‌های تانسور، رتبه‌های حداکثر، و رتبه‌های معمولی را در فیلد اعداد واقعی ارائه می‌کند. اگرچه رتبه های تانسور اغلب در زمینه اعداد مختلط بحث شده است، اما باید تاکید کرد که این کتاب به رتبه های تانسور واقعی می پردازد که کاربرد مستقیمی در آمار دارند. این کتاب چندین ایده جالب از جمله چند جمله‌ای‌های تعیین‌کننده، ایده‌آل‌های تعیین‌کننده، تانسورهای کاملاً غیرمفرد، تانسورهای رتبه‌بندی ستونی کاملاً کامل، و ارتباط آن‌ها با نقشه‌های دوخطی و اعداد هورویتز-رادون را ارائه می‌دهد. علاوه بر بررسی روش‌های تعیین رتبه‌های تانسور واقعی در جزئیات، نظریه‌های جهانی مانند روش ژاکوبین نیز با جزئیات بررسی می‌شوند. این کتاب همچنین شامل مقدمه ای در دسترس و جامع از پیشینه های ریاضی، با مبانی چند جمله ای مثبت و محاسبات با استفاده از مبنای گروبنر است. علاوه بر این، این کتاب بینش‌هایی را در مورد روش‌های عددی یافتن رتبه‌های تانسور از طریق تجزیه مقادیر مفرد همزمان ارائه می‌دهد.

This book provides comprehensive summaries of theoretical (algebraic) and computational aspects of tensor ranks, maximal ranks, and typical ranks, over the real number field. Although tensor ranks have been often argued in the complex number field, it should be emphasized that this book treats real tensor ranks, which have direct applications in statistics. The book provides several interesting ideas, including determinant polynomials, determinantal ideals, absolutely nonsingular tensors, absolutely full column rank tensors, and their connection to bilinear maps and Hurwitz-Radon numbers. In addition to reviews of methods to determine real tensor ranks in details, global theories such as the Jacobian method are also reviewed in details. The book includes as well an accessible and comprehensive introduction of mathematical backgrounds, with basics of positive polynomials and calculations by using the Groebner basis. Furthermore, this book provides insights into numerical methods of finding tensor ranks through simultaneous singular value decompositions.