Algebra: Gruppen – Ringe – Körper

Cover......Page 1
Algebra: Gruppen – Ringe – Körper (2. Auflage)......Page 4
Copyright......Page 5
Vorwort zur ersten Auflage......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 8
0.1 Womit befasst sich die Algebra?......Page 14
0.2.1 Gruppentheorie......Page 15
0.2.2 Ringtheorie......Page 16
0.2.3 Körpertheorie......Page 17
1.1.1 Ein Beispiel einer Halbgruppe......Page 18
1.1.2 Definition einer Halbgruppe......Page 19
1.1.4 Beispiele von Halbgruppen......Page 20
1.2 Unterhalbgruppen......Page 21
1.3 Invertierbare Elemente......Page 22
1.3.1 Eigenschaften der Menge der invertierbaren Elemente......Page 23
1.5 Potenzen und Vielfache......Page 24
1.6.1 Definitionen und Beispiele......Page 25
1.6.2 Produkte und Inverse von (bijektiven) Homomorphismen......Page 27
1.7 Direkte Produkte......Page 28
Aufgaben......Page 29
2.1.1 Definition einer Gruppe......Page 30
2.1.3 Schwaches Axiomensystem......Page 31
2.1.4 Beispiele......Page 32
2.2 Untergruppen......Page 34
2.2.1 Untergruppennachweise......Page 35
2.2.3 Beispiele von Untergruppen......Page 36
2.3.1 Kern und Bild eines Homomorphismus......Page 38
2.3.2 Symmetrische Gruppen gleichmächtiger Mengen......Page 39
2.3.3 Der Satz von Cayley......Page 40
Aufgaben......Page 41
3.1.1 Durchschnitte von Untergruppen......Page 42
3.1.2 Erzeugendensysteme......Page 43
3.1.3 Darstellung von (X)
......Page 44
3.1.4 Elementordnungen......Page 45
3.1.5 Die Diedergruppen......Page 47
3.2.1 Links- bzw. Rechtsnebenklassen liefern Partitionen......Page 48
3.2.2 Der Index von U in G......Page 50
3.3.2 Der Satz von Lagrange......Page 51
3.3.3 Der Untergruppenverband der S3 *......Page 52
3.3.5 Wichtige Folgerungen aus dem Satz von Lagrange......Page 53
3.3.6 Eine Verallgemeinerung des Satzes von Lagrange *......Page 54
Aufgaben......Page 55
4.1.1 Definition und Beispiele......Page 56
4.1.2 Weitere Beispielsklassen......Page 57
4.1.3 Produkte von Untergruppen......Page 58
4.2 Normalisatoren......Page 59
4.3.1 G modulo N......Page 60
4.3.3 Restklassen modulo n......Page 62
4.4 Der Homomorphiesatz......Page 64
4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe *
......Page 66
4.6.2 Der Korrespondenzsatz......Page 67
4.6.3 Der zweite Isomorphiesatz......Page 68
4.6.4 Das Lemma von Zassenhaus *......Page 69
Aufgaben......Page 70
5.1.1 Untergruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch......Page 72
5.1.2 Der Untergruppenverband einer endlichen zyklischen Gruppe......Page 73
5.2 Klassifikation der zyklischen Gruppen......Page 74
5.3.1 Der Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler......Page 75
5.3.3 Der euklidische Algorithmus......Page 76
5.3.4 Der Fundamentalsatz der Arithmetik *......Page 78
5.3.5 Die Euler’sche Funktion......Page 79
5.3.6 Prime Restklassengruppen......Page 80
5.4.1 Automorphismengruppen endlicher zyklischer Gruppen......Page 81
5.4.2 Automorphismengruppen unendlicher zyklischer Gruppen......Page 82
Aufgaben......Page 83
6.1 Äußere direkte Produkte......Page 84
6.2.1 Definition und Beispiele......Page 85
6.2.2 Eine Kennzeichnung innerer direkter Produkte......Page 86
6.2.3 Zusammenhang zwischen inneren und äußeren direkten Produkten
......Page 87
6.3.1 Der chinesische Restsatz......Page 88
6.3.2 Lösen von Systemen von Kongruenzgleichungen *......Page 89
6.3.3 Produktdarstellung der primen Restklassengruppen......Page 91
6.3.4 Wann ist das Produkt zyklischer Gruppen wieder zyklisch?......Page 92
Aufgaben......Page 95
7.1.1 Operationen......Page 96
7.1.2 Bahnen von Operationen......Page 98
7.1.3 Der Stabilisator......Page 99
7.2.1 Die Anzahlformel......Page 100
7.2.2 Fixpunkte......Page 101
7.3.1 Die Konjugiertenklassen......Page 102
7.3.2 p -Gruppen......Page 103
Aufgaben......Page 104
8.1.1 Die Sätze von Frobenius und Cauchy......Page 106
8.1.2 Sylowgruppen......Page 109
8.2.1 Sylowgruppen und ihre Konjugierten......Page 110
8.2.2 Zur Anzahl der p -Sylowgruppen einer endlichen Gruppe......Page 111
8.2.3 Sylowgruppen und direkte Produkte......Page 112
8.3 Gruppen kleiner Ordnung......Page 113
Aufgaben......Page 115
9.1.1 Zyklen......Page 118
9.1.2 Ein Repräsentantensystem von Sn+1 modulo Sn *......Page 120
9.1.3 Zerlegung von Permutationen in Zyklen......Page 121
9.2 Alternierende Gruppen......Page 122
9.2.1 Das Signum ist ein Homomorphismus......Page 123
9.3 Einfache Gruppen......Page 124
9.3.2 Alternierende Gruppen sind für n ≥ 5 einfach......Page 125
Aufgaben......Page 127
10.1.1 Zerlegung von p -Gruppen......Page 128
10.2.1 Der Typ einer endlichen abelschen Gruppe......Page 130
10.2.2 Anzahlformel und Partitionen natürlicher Zahlen......Page 131
10.3.1 Die zweite Fassung......Page 132
Aufgaben......Page 133
11.1.1 Normalreihen mit und ohne Wiederholungen......Page 134
11.1.2 Der Verfeinerungssatz von Schreier *......Page 135
11.1.3 Kompositionsreihen......Page 137
11.2.1 Kommutatoren......Page 138
11.2.2 Abelsche Faktorgruppen......Page 139
11.2.3 Höhere Kommutatorgruppen......Page 140
11.3 Auflösbare Gruppen......Page 141
11.4 Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen
......Page 142
11.4.2 Auflösbarkeit und Kompositionsreihen......Page 143
11.5 Klassen auflösbarer Gruppen......Page 144
Aufgaben......Page 145
13.1 Motivation......Page 162
13.2.1 Die Menge R[N0]......Page 163
13.2.3 Der Ring (R[N0],+, ·)......Page 164
13.3.1 Polynome in der Unbestimmten X......Page 165
13.3.2 Die universelle Eigenschaft......Page 166
13.3.4 Anwendung des Grades......Page 168
13.3.5 Einsetzen in Polynome......Page 169
13.3.7 Algebraische und transzendente Elemente......Page 170
13.3.8 Der Divisionsalgorithmus......Page 171
13.3.9 Nullstellen und Gleichheit von Polynomen......Page 172
13.4 Prime Restklassengruppen *......Page 174
13.5.1 Der Polynomring R[X1, . . . , Xn]......Page 176
Aufgaben......Page 178
14.1.1 Ideale, Linksideale, Rechtsideale......Page 180
14.1.2 Homomorphismen und Ideale......Page 181
14.2.1 Endlich erzeugte Ideale und Hauptideale......Page 182
14.3 Einfache Ringe......Page 183
14.3.2 Einfache Ringe und Schiefkörper......Page 184
14.4.1 Summe und Produkt von Idealen......Page 185
14.5 Faktorringe......Page 186
14.6 Isomorphiesätze......Page 187
14.7.1 Primideale und Nullteilerfreiheit......Page 189
14.7.2 Beispiele......Page 190
14.8.2 Maximale Ideale sind Primideale......Page 191
14.8.3 Existenz maximaler Ideale *......Page 192
Aufgaben......Page 193
15.1 Teilbarkeit......Page 196
15.1.1 Teilbarkeitsregeln......Page 197
15.1.2 Unzerlegbare Elemente und Primelemente......Page 198
15.1.3 ggT und kgV......Page 199
15.2 Idealtheoretische Interpretation......Page 200
Aufgaben......Page 201
16.1.1 Definition faktorieller Ringe......Page 202
16.1.2 Teilerkettenbedingung und Primbedingung......Page 203
16.1.3 Darstellung der Elemente faktorieller Ringe *......Page 204
16.2 Der nichtfaktorielle Ring ℤ[√−5] *......Page 205
Aufgaben......Page 207
17.1 Hauptidealringe......Page 208
17.1.1 Hauptidealringe sind faktoriell......Page 209
17.2 Euklidische Ringe......Page 210
17.2.1 Der euklidische Algorithmus *......Page 212
17.3.1 Der euklidische Betrag auf ℤ[i]......Page 213
17.3.2 Zahlen als Summen von Quadraten......Page 215
Aufgaben......Page 216
18.1 Der Satz von Gauß......Page 218
18.1.1 Das Lemma von Gauß......Page 219
18.1.2 Zerlegbarkeit in R, R[X] und K[X]......Page 220
18.1.3 Polynomringe über faktoriellen Ringen sind faktoriell......Page 221
18.2.1 Lineare Teiler......Page 222
18.2.2 Der Reduktionssatz......Page 223
18.2.3 Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein......Page 224
18.3.1 Definitionen......Page 226
18.3.2 Der Basissatz von Hilbert......Page 227
18.3.3 Ein Überblick über die behandelten Ringe......Page 228
Aufgaben......Page 229
19.1.1 Definition und Beispiele......Page 230
19.1.2 Die Charakteristik eines Körpers......Page 231
19.1.4 Primkörper......Page 232
19.1.5 Der Grad einer Körpererweiterung......Page 233
19.1.6 Der Gradsatz......Page 234
19.2.2 Darstellungen von K[S] und K(S)......Page 236
19.3.1 Algebraische und transzendente Elemente......Page 237
19.3.2 Das Minimalpolynom algebraischer Elemente......Page 238
Aufgaben......Page 239
20.1 Einfache Körpererweiterungen......Page 242
20.2.1 Existenz und Eindeutigkeit einer Fortsetzung......Page 244
20.2.2 K-Monomorphismen......Page 245
20.3.1 Endliche und algebraische Erweiterungen......Page 246
20.3.3 Die Transitivität der Eigenschaft algebraisch......Page 247
20.3.5 K-Homomorphismen algebraischer Erweiterungen......Page 248
Aufgaben......Page 249
21.1.1 Konstruktion von Punkten mit Zirkel und Lineal......Page 252
21.1.2 Die Menge der konstruierbaren Punkte......Page 253
21.1.3 Die Menge der aus S kontruierbaren Punkte K(S) ist ein Körper
......Page 254
21.1.4 Eine Kennzeichnung der konstruierbaren Elemente......Page 256
21.1.5 Die Grade der konstruierbaren Elemente......Page 257
21.2.3 Die Quadratur des Kreises......Page 258
Aufgaben......Page 259
22.1 Transzendenzbasen......Page 260
22.1.2 Transzendenzbasis......Page 261
22.1.3 Kennzeichnung einer Transzendenzbasis......Page 262
22.2 Der Transzendenzgrad......Page 264
Aufgaben......Page 265
23 Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper
......Page 266
23.1.1 Der Satz von Kronecker......Page 267
23.1.2 Algebraisch abgeschlossene Körper......Page 268
23.1.3 Algebraischer Abschluss......Page 269
23.1.4 Existenz eines algebraischen Abschlusses......Page 270
23.2 Zerfällungskörper......Page 272
23.2.1 Einfache Tatsachen......Page 273
23.2.3 Fortsetzung von Isomorphismen auf Zerfällungskörper......Page 274
23.2.4 Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers und des algebraischen Abschlusses
......Page 275
23.2.5 Fortsetzung eines Monomorphismus auf eine algebraische Erweiterung
......Page 276
23.3.1 Kennzeichnungen normaler Körpererweiterungen......Page 277
Aufgaben......Page 279
24.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln......Page 282
24.1.2 Mehrfache Wurzeln......Page 283
24.2.1 Separable Polynome, Elemente und Körpererweiterungen......Page 284
24.2.2 Separabilität und Charakteristik......Page 285
24.2.4 Potenzen algebraischer Elemente......Page 286
24.3 Vollkommene Körper......Page 287
24.4 Der Satz vom primitiven Element......Page 288
24.5.1 Der Zwischenkörper der separablen Elemente......Page 290
24.5.3 K-Monomorphismen und der Separabilitätsgrad......Page 291
24.5.4 Rein inseparable Körpererweiterungen *......Page 292
Aufgaben......Page 293
25.1.1 Eigenschaften endlicher Körper......Page 296
25.1.2 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz......Page 297
25.2 Der Verband der Teilkörper......Page 299
25.3 Automorphismen......Page 300
Aufgaben......Page 301
26.1 K-Automorphismen......Page 302
26.1.2 Der Fixkörper einer Gruppe von Automorphismen......Page 303
26.1.3 Galoissche Körpererweiterung......Page 304
26.1.4 Die Ordnung der Galoisgruppe......Page 305
26.2.1 Fixkörper und Fixgruppen......Page 306
26.2.2 Die +-Abbildungen......Page 307
26.2.3 Abgeschlossene Zwischenkörper und Untergruppen......Page 308
26.2.5 Galoisgruppen isomorpher Körpererweiterungen......Page 309
26.3.1 Normal plus separabel ist galoissch......Page 310
26.3.2 Normalteiler und galoissche Zwischenkörper......Page 311
26.4.1 Ein Satz von Dedekind......Page 312
26.4.2 Der Hauptsatz......Page 313
26.4.3 Zusammenfassung und Beispiel......Page 314
26.5.1 Einbettung in eine Galoiserweiterung *......Page 315
26.5.3 Der Fundamentalsatz der Algebra *......Page 316
Aufgaben......Page 317
27.1 Norm und Spur......Page 320
27.2.1 Das Dedekind’sche Lemma......Page 321
27.2.2 Die Methode mit der Spur......Page 322
27.3.2 Der Fall L = K(a)......Page 323
27.4 Beispiele......Page 324
27.5 Die Galoisgruppe eines Polynoms......Page 325
27.5.1 Polynome mit zu Sn isomorpher Galoisgruppe......Page 328
Aufgaben......Page 329
28.1 Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper......Page 330
28.1.2 Primitive n-te Einheitswurzeln......Page 331
28.2 Kreisteilungspolynome......Page 332
28.2.1 Xn − 1 ist Produkt von Kreisteilungspolynomen......Page 333
28.2.2 Rekursive Berechnung der Kreisteilungspolynome......Page 334
28.2.3 Kreisteilungspolynome sind irreduzibel über Q......Page 335
28.2.4 Der Satz von Wedderburn *......Page 336
28.3.1 Wann ist Kn/K galoissch?......Page 337
28.3.2 Kreisteilungskörper über endlichen Körpern *......Page 338
28.4.1 Fermatsche Primzahlen......Page 339
28.4.2 Kennzeichnungen der Konstruierbarkeit regulärer Vielecke......Page 340
28.4.3 Die Konstruktion des regulären 17-Ecks......Page 341
Aufgaben......Page 342
29.1 Zyklische Körpererweiterungen......Page 344
29.1.2 Eine hinreichende Bedingung......Page 345
29.1.4 Eine notwendige Bedingung......Page 346
29.1.5 Hilberts Satz 90 *......Page 347
29.1.6 Zyklische Erweiterungen vom Primzahlgrad *......Page 348
29.3.1 Eine hinreichende Bedingung......Page 349
29.3.2 Zwei Hilfssätze......Page 350
29.3.3 Eine notwendige Bedingung......Page 352
Aufgaben......Page 353
30.1 Symmetrische Funktionen......Page 354
30.1.2 Die elementarsymmetrischen Funktionen......Page 355
30.1.3 Der Hauptsatz über symmetrische Funktionen......Page 356
30.2.1 Motivation......Page 357
30.2.2 Das allgemeine Polynom vom Grad n......Page 358
30.3 Die Diskriminante eines Polynoms *......Page 359
30.3.2 Die Wurzel der Diskriminante......Page 360
30.4 Die allgemeine Gleichung vom Grad 3 *......Page 361
30.4.1 Reduktion auf spezielle kubische Polynome......Page 362
30.4.2 Cardanosche Formeln......Page 363
30.5 Die allgemeine Gleichung vom Grad 4 *......Page 364
A.1 Äquivalenzrelationen......Page 366
A.2 Transfinite Beweismethoden......Page 367
A.2.2 Der Wohlordnungssatz......Page 368
A.2.3 Das Zorn’sche Lemma......Page 369
A.3.1 Was sind Kardinalzahlen?......Page 370
A.3.3 Die Mächtigkeit von P(X)......Page 371
A.4 Zusammenfassung der Axiome......Page 372
Literaturverzeichnis......Page 374
Index......Page 376