Algebra II: Noncommutative Rings Identities

جبر ماتریس های مربعی با اندازه n ~ 2 بر روی میدان اعداد مختلط، ظاهراً شناخته شده ترین مثال از یک سینه بند جبر غیر جابه جایی است • جبرهای فرعی و زیرحلقه های این جبر (به عنوان مثال، حلقه n x n ماتریس با ورودی های انتگرال) به طور طبیعی در بسیاری از حوزه های ریاضیات بوجود می آیند. با این حال، از نظر تاریخی، مطالعه جبرهای ماتریسی با کشف quatemions انجام شد که در سال 1843 توسط همیلتون معرفی شد و کاربردهایی در مکانیک کلاسیک قرن گذشته یافت. بعدها مشخص شد که تحلیل کواترنیونی کاربردهای مهمی در نظریه میدان دارد. جبر رباعی ها به یکی از اشیاء ریاضی کلاسیک تبدیل شده است. به عنوان مثال در جبر، هندسه و توپولوژی استفاده می شود. ما به اختصار به نمونه‌های دیگری از حلقه‌ها و جبرهای غیرقابل تعویض که به طور طبیعی در ریاضیات و فیزیک ریاضی به وجود می‌آیند، تمرکز خواهیم کرد. جبر بیرونی (یا جبر گراسمن) به طور گسترده در هندسه دیفرانسیل استفاده می شود - به عنوان مثال، در نظریه هندسی ادغام. جبرهای کلیفورد، که شامل جبرهای بیرونی به عنوان یک مورد خاص هستند، در نظریه بازنمایی و در توپولوژی جبری کاربرد دارند. جبر ویل (Le. جبر عملگرهای دیفرانسیل با ضرایب چند جمله ای) اغلب در نظریه نمایش جبرهای Lie ظاهر می شود. در سال‌های اخیر، ماژول‌های جبر ویل و نوارهای این ماژول‌ها پایه و اساس تجزیه و تحلیل ریز محلی شده‌اند. نظریه جبرهای عملگر (Le.

The algebra of square matrices of size n ~ 2 over the field of complex numbers is, evidently, the best-known example of a non-commutative alge­ 1 bra • Subalgebras and subrings of this algebra (for example, the ring of n x n matrices with integral entries) arise naturally in many areas of mathemat­ ics. Historically however, the study of matrix algebras was preceded by the discovery of quatemions which, introduced in 1843 by Hamilton, found ap­ plications in the classical mechanics of the past century. Later it turned out that quaternion analysis had important applications in field theory. The al­ gebra of quaternions has become one of the classical mathematical objects; it is used, for instance, in algebra, geometry and topology. We will briefly focus on other examples of non-commutative rings and algebras which arise naturally in mathematics and in mathematical physics. The exterior algebra (or Grassmann algebra) is widely used in differential geometry - for example, in geometric theory of integration. Clifford algebras, which include exterior algebras as a special case, have applications in rep­ resentation theory and in algebraic topology. The Weyl algebra (Le. algebra of differential operators with· polynomial coefficients) often appears in the representation theory of Lie algebras. In recent years modules over the Weyl algebra and sheaves of such modules became the foundation of the so-called microlocal analysis. The theory of operator algebras (Le.