Algèbre et géométrie PC-PSI-PT : Cours, méthodes, exercices corrigés

Table des Matières......Page 4
Chapitre 1 Compléments d'algèbre linéaire......Page 18
1.1.2 Sommes, sommes directes......Page 19
1.2.1 Théorème d'isomorphisme......Page 24
1.2.2 Interpolation de Lagrange......Page 25
1.2.3 Théorème du rang......Page 26
1.3.1 Généralités......Page 28
1.3.2 Hyperplans......Page 29
1.3.3 Bases duales......Page 31
1.4.1 Trace......Page 37
1.4.2 Blocs......Page 42
Chapitre 2 Déterminants......Page 50
2.1.2 Transpositions......Page 51
2.1.3 Cycles......Page 54
2.2.2 Applications multilinéaires alternées......Page 56
2.3.1 Espace Λn(E)......Page 58
2.3.2 Propriétés......Page 59
2.4 Déterminant d'un endomorphisme......Page 60
2.5 Déterminant d'une matrice carrée......Page 61
2.6.1 Cofacteurs et mineurs......Page 64
2.6.2 Comatrice......Page 68
2.7.2 Manipulation de lignes et de colonnes......Page 70
2.7.3 Cas n = 2, n = 3......Page 73
2.7.4 Déterminant de Vandermonde......Page 74
2.7.5 Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs......Page 75
2.8 Orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie......Page 79
2.9 Supplément : Rang et sous-matrices......Page 80
2.10.1 Position du problème......Page 83
2.10.2 Résolution dans le cas d'un système de Cramer......Page 84
Chapitre 3 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées......Page 88
3.1 Éléments propres......Page 89
3.2 Polynôme caractéristique......Page 94
3.3 Diagonalisabilité......Page 101
3.4 Trigonalisation......Page 113
3.5.1 Généralités......Page 121
3.5.2 Polynômes annulateurs......Page 124
3.5.3 Théorème de Cayley et Hamilton......Page 131
3.5.4 Idéaux de K[X](PSI......Page 133
3.6.1 Calcul des puissances d'une matrice carrée......Page 134
3.6.2 Suites récurrentes linéaires simultanées du 1er ordre à coefficients constants......Page 138
3.6.3 Suites récurrentes linéaires à coefficients constants......Page 139
Problèmes......Page 141
Chapitre 4 Espaces préhilbertiens réels......Page 144
4.1.1 Généralités......Page 145
4.1.2 Interprétation matricielle......Page 147
4.2.1 Produit scalaire......Page 152
4.2.2 Orthogonalité......Page 156
4.3.1 Endomorphismes symétriques......Page 161
4.3.2 Endomorphismes orthogonaux......Page 168
4.4.1 Adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien......Page 173
4.4.2 Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien......Page 177
4.5.1 Théorème fondamental......Page 178
4.5.2 Réduction simultanée......Page 184
4.5.3 Positivité......Page 185
Problème......Page 201
Chapitre 5 Espaces préhilbertiens complexes......Page 202
5.1.1 Généralités......Page 203
5.1.2 Cas de la dimension finie......Page 205
5.2.1 Produit scalaire hermitien......Page 208
5.2.2 Orthogonalité......Page 212
Chapitre 6 Géométrie......Page 218
6.1.1 Enveloppe d'une famille de droites du plan......Page 219
6.1.2 Rappels sur l'abscisse curviligne et le rayon de courbure......Page 226
6.1.3 Centre de courbure......Page 231
6.1.4 Développée d'une courbe du plan......Page 235
6.1.5 Développantes d'une courbe du plan......Page 238
6.2.1 Généralités......Page 242
6.2.2 Tangente en un point......Page 244
6.2.3 Abscisse curviligne......Page 246
6.3.1 Généralités......Page 250
6.3.2 Plan tangent en un point......Page 253
6.3.3 Surfaces usuelles......Page 259
6.3.4 Quadriques......Page 267
6.3.5 Surfaces réglées, surfaces développables......Page 276
6.3.6 Exemples de recherche de courbes tracées sur une surface et satisfaisant une condition différentielle......Page 282
Chapitre 1......Page 293
Chapitre 2......Page 299
Chapitre 3......Page 308
Chapitre 4......Page 337
Chapitre 5......Page 362
Chapitre 6......Page 365
Index des notations......Page 388
Index alphabétiques......Page 390