Advances in Geometric Programming

در سال 1961، سی. زنر، مدیر وقت علوم در شرکت وستینگهاوس، و عضو آکادمی ملی علوم ایالات متحده که سهم مهمی در فیزیک و مهندسی داشته است، مقاله کوتاهی در مجموعه مقالات آکادمی ملی منتشر کرد. در این مقاله زنر مشکل یافتن یک طرح مهندسی بهینه را که اغلب می‌تواند به عنوان مسئله کمینه کردن یک تابع هزینه عددی بیان می‌شود، بیان کرد که یک چند جمله‌ای تعمیم‌یافته نامیده می‌شود. ,\" متشکل از مجموع عبارت‌ها، که در آن هر جمله حاصل ضرب یک ثابت مثبت و متغیرهای طراحی است که به توان‌های دلخواه افزایش می‌یابد. وی مشاهده کرد که اگر تعداد عبارت ها از تعداد متغیرها یک عدد بیشتر شود، با حل مجموعه ای از معادلات خطی می توان مقادیر بهینه متغیرهای طراحی را به راحتی پیدا کرد. علاوه بر این، تغییرات معینی از سهم نسبی هر ترم در هزینه کل قابل استنباط است. پیچیدگی های ریاضی در روش زنر به زودی کنجکاوی R. J. Duffin، ریاضیدان برجسته از دانشگاه کارنگی ملون را برانگیخت که با زنر در ایجاد مبانی دقیق ریاضی برای بهینه سازی چندجمله ای های تعمیم یافته به نیروها پیوست. جالب توجه است که بررسی شرایط بهینه و ویژگی‌های راه‌حل‌های بهینه در چنین مسائلی توسط دافین و زنر با کمک نابرابری‌ها به جای رویکرد رایج‌تر نظریه کوهن تاکر انجام شد.

In 1961, C. Zener, then Director of Science at Westinghouse Corpora­ tion, and a member of the U. S. National Academy of Sciences who has made important contributions to physics and engineering, published a short article in the Proceedings of the National Academy of Sciences entitled" A Mathe­ matical Aid in Optimizing Engineering Design. " In this article Zener considered the problem of finding an optimal engineering design that can often be expressed as the problem of minimizing a numerical cost function, termed a "generalized polynomial," consisting of a sum of terms, where each term is a product of a positive constant and the design variables, raised to arbitrary powers. He observed that if the number of terms exceeds the number of variables by one, the optimal values of the design variables can be easily found by solving a set of linear equations. Furthermore, certain invariances of the relative contribution of each term to the total cost can be deduced. The mathematical intricacies in Zener's method soon raised the curiosity of R. J. Duffin, the distinguished mathematician from Carnegie­ Mellon University who joined forces with Zener in laying the rigorous mathematical foundations of optimizing generalized polynomials. Interes­ tingly, the investigation of optimality conditions and properties of the optimal solutions in such problems were carried out by Duffin and Zener with the aid of inequalities, rather than the more common approach of the Kuhn-Tucker theory.