Advanced Number Theory

\"کتابی بسیار محرک ... در یک کلاس به تنهایی.\" — ریاضی آمریکایی ماهانه
دانش آموزان پیشرفته، ریاضیدانان و تعداد نظریه پردازان از این برخورد محرک نظریه اعداد پیشرفته استقبال می کنند، که به موضوع پیچیده نظریه اعداد جبری از منظر تاریخی نزدیک می شود و تلاش می کند تا به خواننده نشان دهد که مفاهیم، ​​تعاریف و نظریه ها در طول دو قرن اخیر چگونه تکامل یافته اند. علاوه بر این، کتاب مملو از مثال‌های عددی و قضایای مشخص‌تر و مشخص‌تر از آنچه که در بسیاری از درمان‌های معاصر این موضوع یافت می‌شود، است.
کتاب به سه بخش تقسیم شده است. بخش اول به مطالب پس‌زمینه مربوط می‌شود - خلاصه‌ای از نظریه اعداد ابتدایی (شامل همخوانی‌های درجه دوم و نماد ژاکوبی)، کاراکترهای گروه‌های کلاس باقیمانده از طریق قضیه ساختار برای گروه‌های آبلی محدود، اولین مفاهیم حوزه‌های انتگرال، مدول‌ها و شبکه‌ها، و مواردی از این قبیل. قضایای پایه به عنوان قضیه پایه کرونکر برای گروه‌های آبلی.
بخش دوم نظریه ایده‌آل را در زمینه‌های درجه دوم، با فصل‌هایی درباره عامل‌سازی و واحدهای منحصربه‌فرد، فاکتورگیری منحصربه‌فرد به آرمان‌ها، هنجارها و طبقات ایده‌آل (به ویژه قضیه مینکوفسکی)، و ساختار کلاس مورد بحث قرار می‌دهد. در زمینه های درجه دوم کاربردهای این ماده در بخش سوم برای فرمول‌های اعداد کلاس و اعداد اول در پیشروی حسابی، تقابل درجه دوم در حوزه عقلانی و رابطه بین اشکال درجه دوم و ایده‌آل‌ها، از جمله نظریه ترکیب، نظم‌ها و جنس‌ها انجام شده است. در یک بررسی نهایی نهایی از پیشرفت‌های اخیر، دکتر کوهن فیلدهای سیکلوتومیک و مجموع گاوسی، میدان‌های طبقاتی و دیدگاه‌های جهانی و محلی را مورد بررسی قرار می‌دهد.
علاوه بر نمودارها و جداول مفید متعدد در سراسر متن، ضمائم، و کتاب‌شناسی مشروح شده ، تئوری اعداد پیشرفتههمچنین شامل بیش از 200 مسئله است که مخصوصاً برای تحریک روحیه آزمایش که به طور سنتی بر نظریه اعداد حاکم بوده طراحی شده است.

"A very stimulating book ... in a class by itself." — American Mathematical Monthly
Advanced students, mathematicians and number theorists will welcome this stimulating treatment of advanced number theory, which approaches the complex topic of algebraic number theory from a historical standpoint, taking pains to show the reader how concepts, definitions and theories have evolved during the last two centuries. Moreover, the book abounds with numerical examples and more concrete, specific theorems than are found in most contemporary treatments of the subject.
The book is divided into three parts. Part I is concerned with background material — a synopsis of elementary number theory (including quadratic congruences and the Jacobi symbol), characters of residue class groups via the structure theorem for finite abelian groups, first notions of integral domains, modules and lattices, and such basis theorems as Kronecker's Basis Theorem for Abelian Groups.
Part II discusses ideal theory in quadratic fields, with chapters on unique factorization and units, unique factorization into ideals, norms and ideal classes (in particular, Minkowski's theorem), and class structure in quadratic fields. Applications of this material are made in Part III to class number formulas and primes in arithmetic progression, quadratic reciprocity in the rational domain and the relationship between quadratic forms and ideals, including the theory of composition, orders and genera. In a final concluding survey of more recent developments, Dr. Cohn takes up Cyclotomic Fields and Gaussian Sums, Class Fields and Global and Local Viewpoints.
In addition to numerous helpful diagrams and tables throughout the text, appendices, and an annotated bibliography, Advanced Number Theory also includes over 200 problems specially designed to stimulate the spirit of experimentation which has traditionally ruled number theory.