Advanced Methods in the Fractional Calculus of Variations

این مختصر یک دیدگاه کلی وحدت‌بخش در مورد حساب کسری ارائه می‌کند. این نتایج چندین رویکرد اخیر را در تعمیم اصل کمترین عمل و معادلات اویلر-لاگرانژ برای گنجاندن مشتقات کسری گرد هم می آورد.

وابستگی لاگرانژی به عملگرهای کسری تعمیم یافته و همچنین مشتقات کلاسیک همراه با در نظر گرفته شده است. مسائل کلی تر که در آن انتگرال های مرتبه صحیح با انتگرال های کسری جایگزین می شوند. قضایای عمومی برای انواع مختلفی از مسائل تغییری به دست می‌آیند که نتایج اخیر توسعه‌یافته در ادبیات را می‌توان به عنوان موارد خاص به دست آورد. به طور خاص، نویسندگان شرایط بهینه لازم از نوع اویلر-لاگرانژ را برای مسائل بنیادی و ایزوپریمتری، شرایط عرضی، و قضایای تقارن نوتر ارائه می‌کنند. وجود محلول ها در شرایط نوع تونلی نشان داده شده است. نتایج برای اثبات وجود مقادیر ویژه و توابع ویژه متعامد مربوط به مسائل کسری Sturm-Liouville استفاده می‌شود.

روش‌های پیشرفته در حساب کسری تغییرات متنی مستقل است که برای دانشجویان فارغ‌التحصیل مفید خواهد بود. برای یادگیری در مورد سیستم های مرتبه کسری توضیحات دقیق، محققانی را با پیشینه در ریاضیات کاربردی، کنترل و بهینه‌سازی و همچنین در حوزه‌های خاصی از فیزیک و مهندسی مورد توجه قرار خواهند داد.

This brief presents a general unifying perspective on the fractional calculus. It brings together results of several recent approaches in generalizing the least action principle and the Euler–Lagrange equations to include fractional derivatives.

The dependence of Lagrangians on generalized fractional operators as well as on classical derivatives is considered along with still more general problems in which integer-order integrals are replaced by fractional integrals. General theorems are obtained for several types of variational problems for which recent results developed in the literature can be obtained as special cases. In particular, the authors offer necessary optimality conditions of Euler–Lagrange type for the fundamental and isoperimetric problems, transversality conditions, and Noether symmetry theorems. The existence of solutions is demonstrated under Tonelli type conditions. The results are used to prove the existence of eigenvalues and corresponding orthogonal eigenfunctions of fractional Sturm–Liouville problems.

Advanced Methods in the Fractional Calculus of Variations is a self-contained text which will be useful for graduate students wishing to learn about fractional-order systems. The detailed explanations will interest researchers with backgrounds in applied mathematics, control and optimization as well as in certain areas of physics and engineering.