Advanced Mechanics and General Relativity

Half-title......Page 3
Title......Page 5
Copyright......Page 6
Dedication......Page 7
Contents......Page 9
Preface......Page 15
Acknowledgments......Page 20
1.1 Classical mechanics......Page 21
1.2.1 Lagrangian and equations of motion......Page 22
1.2.2 Examples......Page 25
1.3 Lagrangian for U(r)......Page 27
1.3.1 The metric......Page 29
1.3.2 Lagrangian redux......Page 32
1.4 Classical orbital motion......Page 36
1.5 Basic tensor definitions......Page 41
1.6 Hamiltonian definition......Page 45
1.6.1 Legendre transformation......Page 46
1.6.2 Hamiltonian equations of motion......Page 50
1.6.3 Canonical transformations......Page 53
1.6.4 Generating functions......Page 54
1.7.1 Canonical infinitesimal transformations......Page 57
1.7.2 Rewriting H......Page 59
1.7.3 A special type of transformation......Page 63
1.8.1 Interpreting the Killing vector......Page 66
1.8.2 Temporal evolution......Page 72
2 Relativistic mechanics......Page 76
2.1 Minkowski metric......Page 77
2.2.1 Euclidean length extremization......Page 81
2.2.2 Relativistic length extremization......Page 83
2.3.1 Infinitesimal transformations......Page 87
2.4 Relativistic Hamiltonian......Page 91
2.5 Relativistic solutions......Page 94
2.5.1 Free particle motion......Page 95
2.5.2 Motion under a constant force......Page 96
2.5.3 Motion under the spring potential......Page 98
2.5.4 The twin paradox with springs......Page 100
2.5.5 Electromagnetic infall......Page 102
2.5.6 Electromagnetic circular orbits......Page 103
2.5.7 General speed limit......Page 105
2.5.8 From whence, the force?......Page 106
2.6.1 Newtonian gravity......Page 107
2.6.2 Lines of mass......Page 109
2.6.3 Electromagnetic salvation......Page 112
2.6.4 Conclusion......Page 113
2.7 What\'s next......Page 114
3 Tensors......Page 118
3.1.1 Rotation......Page 119
3.1.2 Scalar......Page 121
3.1.3 Vector (contravariant) and bases......Page 122
3.1.4 Non-orthogonal axes......Page 124
3.1.5 Covariant tensor transformation......Page 126
3.2 Derivatives......Page 131
3.2.1 What is a tensorial derivative?......Page 132
3.3.1 Parallel transport......Page 137
3.3.2 Geodesics......Page 142
4 Curved space......Page 147
4.1 Extremal lengths......Page 148
4.2 Cross derivative (in)equality......Page 149
4.2.2 Vector fields......Page 150
4.3 Interpretation......Page 152
4.3.1 Flat spaces......Page 154
4.4.1 Curves......Page 157
4.4.2 Higher dimension......Page 160
4.5 Taking stock......Page 164
4.5.1 Properties of the Riemann tensor......Page 165
4.5.2 Normal coordinates......Page 166
4.5.3 Summary......Page 170
4.6.1 Newtonian gravity......Page 172
4.6.2 Equivalence......Page 173
4.7.1 Equations of motion......Page 177
4.7.2 Newtonian deviation......Page 178
4.7.3 Geodesic deviation in a general space-time......Page 179
4.8 Einstein\'s equation......Page 182
5.1 Lagrangians for fields......Page 187
5.1.1 The continuum limit for equations of motion......Page 190
5.1.2 The continuum limit for the Lagrangian......Page 193
5.2 Multidimensional action principle......Page 194
5.2.1 One-dimensional variation......Page 195
5.2.2 Two-dimensional variation......Page 197
5.3 Vacuum fields......Page 198
5.4.1 Coordinate transformation......Page 201
5.4.2 Final form of field action......Page 203
5.5 Transformation of the densities......Page 204
5.5.1 Tensor density derivatives......Page 205
5.6 Continuity equations......Page 208
5.6.1 Coordinates and conservation......Page 209
5.7.1 The tensor T for fields......Page 212
5.7.2 Conservation of angular momentum......Page 215
5.8.1 Energy-momentum tensor for particles......Page 217
5.8.2 Energy and momenta for fields......Page 219
5.9 First-order action......Page 220
6 Tensor field theory......Page 225
6.1 Vector action......Page 226
6.1.1 The field strength tensor......Page 230
6.2 Energy-momentum tensor for E&M......Page 231
6.2.1 Units......Page 232
6.3 E&M and sources......Page 233
6.3.1 Introducing sources......Page 234
6.3.2 Kernel of variation......Page 236
6.4.1 Two scalar fields......Page 238
6.4.2 Current and coupling......Page 240
6.4.3 Local gauge invariance......Page 242
6.5 Construction of field theories......Page 245
6.5.2 Available terms for vector fields......Page 246
6.5.3 One last ingredient......Page 249
6.6.1 General, symmetric free field equations......Page 251
6.7 Second-rank consistency......Page 256
6.7.1 Modified action variation......Page 257
6.7.2 Stress tensor for H......Page 259
6.7.3 Matter coupling......Page 263
6.8 Source-free solutions......Page 265
7 Schwarzschild space-time......Page 271
7.1 The Schwarzschild solution......Page 273
7.1.1 The Weyl method and E and M......Page 274
7.1.2 The Weyl method and GR......Page 275
7.2.1 Return to linearized field equations......Page 280
7.3 Orbital motion in Schwarzschild geometry......Page 284
7.3.2 Massive test particles in Schwarzschild geometry......Page 285
7.3.3 Exact solutions......Page 291
7.4 Bending of light in Schwarzschild geometry......Page 292
7.5 Radial infall in Schwarzschild geometry......Page 297
7.5.1 Massive particles......Page 298
7.5.2 Light......Page 300
7.6.1 Transformation......Page 301
7.7.1 Black holes......Page 305
7.7.2 Gravitational redshift in Schwarzschild geometry......Page 306
7.7.3 Real material infall......Page 307
7.8 Cosmological constant......Page 313
8 Gravitational radiation......Page 316
8.1 Gauge choice in E&M......Page 317
8.2 Gauge choice in linearized GR......Page 319
8.3 Source-free linearized gravity......Page 322
8.4 Sources of radiation......Page 325
8.4.1 Source approximations and manipulation......Page 331
8.4.2 Example - circular orbits......Page 335
8.4.3 Energy carried away in the field......Page 338
9 Additional topics......Page 347
9.1.1 Spinning charged spheres......Page 348
9.1.2 Static analogy......Page 349
9.1.3 General relativity and test particles......Page 350
9.1.4 Kerr and the weak field......Page 351
9.1.5 Physics of Kerr......Page 353
9.2.1 Geodesic Lagrangian......Page 354
9.2.2 Runge-Kutta......Page 357
9.2.3 Equatorial geodesic example......Page 359
9.3.1 Surfaces......Page 360
9.3.2 Surface variation......Page 362
9.3.3 Relativistic string......Page 365
9.4 A relativistic string solution......Page 367
9.4.1 Nambu-Goto variation......Page 368
9.4.3 A string parametrization (arc-length)......Page 370
9.4.4 Equations of motion......Page 372
9.4.5 A rotating string......Page 374
9.4.6 Arc-length parametrization for the rotating string......Page 375
9.4.7 Classical correspondence......Page 377
Bibliography......Page 381
Index......Page 383