Adaptive Finite Element Methods for Differential Equations

این یادداشت‌های سخنرانی مفاهیم «خودسازگاری» را در حل عددی معادلات دیفرانسیل، با تأکید بر روش‌های المان محدود گالرکین مورد بحث قرار می‌دهند. مسائل کلیدی عبارتند از تخمین خطای پسینی و تطبیق شبکه خودکار. علاوه بر رویکرد سنتی کنترل خطای هنجار انرژی، یک تکنیک جدید مبتنی بر دوگانگی، روش دو وزن باقیمانده برای برآورد خطای هدف‌گرا، به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. هدف این روش محاسبه اقتصادی مقادیر دلخواه مورد علاقه فیزیکی با تطبیق مناسب مش محاسباتی است. این معمولاً در چرخه های طراحی برنامه های فنی مورد نیاز است. به عنوان مثال، ضریب پسا یک جسم غوطه ور در یک جریان ویسکوز محاسبه می شود، سپس با تغییر پارامترهای کنترلی خاص، به حداقل می رسد و در نهایت پایداری جریان حاصل با حل یک مسئله مقدار ویژه بررسی می شود. سازگاری "هدف گرا" برای دستیابی به این وظایف با حداقل هزینه طراحی شده است.
در پایان هر فصل تمرین هایی ارائه شده است تا به خواننده علاقه مند در درک بهتر مفاهیم ارائه شده کمک کند. راه حل ها و نکات همراه در پیوست آورده شده است. برای تمرین های عملی، نمونه برنامه ها از طریق اینترنت ارائه می شود.

These Lecture Notes discuss concepts of `self-adaptivity' in the numerical solution of differential equations, with emphasis on Galerkin finite element methods. The key issues are a posteriori error estimation and it automatic mesh adaptation. Besides the traditional approach of energy-norm error control, a new duality-based technique, the Dual Weighted Residual method for goal-oriented error estimation, is discussed in detail. This method aims at economical computation of arbitrary quantities of physical interest by properly adapting the computational mesh. This is typically required in the design cycles of technical applications. For example, the drag coefficient of a body immersed in a viscous flow is computed, then it is minimized by varying certain control parameters, and finally the stability of the resulting flow is investigated by solving an eigenvalue problem. `Goal-oriented' adaptivity is designed to achieve these tasks with minimal cost.
At the end of each chapter some exercises are posed in order to assist the interested reader in better understanding the concepts presented. Solutions and accompanying remarks are given in the Appendix. For the practical exercises, sample programs are provided via internet.