Abstract Root Subgroups and Simple Groups of Lie-Type

در سال 1964 [Fis66] بود که B. Fischer این سوال را مطرح کرد: کدام گروه های محدود را می توان توسط یک کلاس مزدوج D از انحلال ها تولید کرد، حاصلضرب هر دو تا از آنها دارای مرتبه 1، 2 یا 37 چنین کلاسی است. D او کلاسی از 3-tmnspositions از G نامید. این سؤال کاملاً طبیعی است، زیرا کلاس جابجایی های یک گروه متقارن دارای این ویژگی است. یعنی ترتیب محصول (ij)(kl) 1، 2 یا 3 است زیرا {i,j} n {k,l} از 2,0 یا 1 عنصر تشکیل شده است. در واقع، اگر I{i,j} n {k,I}1 = 1 و j = k، آنگاه (ij)(kl) 3 چرخه (ijl) است. پس از مقالات مقدماتی [Fis66] و [Fis64] او در [Fis71J, [Fis69] موفق شد تمام گروه های محدود "تقریبا" ساده تولید شده توسط چنین کلاسی از 3-transpositions را طبقه بندی کند و بدین وسیله سه گروه ساده محدود جدید به نام M را کشف کند. (22)، M(23) و M(24). اما حتی مهم‌تر از قضیه طبقه‌بندی او این واقعیت بود که او روش جدیدی را در مطالعه گروه‌های محدود ابداع کرد که توسط دی. گورنشتاین در کتابش: گروه‌های ساده محدود، مقدمه‌ای بر آنها «تحلیل هندسی داخلی» نامیده می‌شود. طبقه بندی. در واقع D. Gorenstein می نویسد که این روش را می توان از نظر اهمیت برای طبقه بندی گروه های ساده محدود تنها پس از تجزیه و تحلیل گروهی-نظری محلی ایجاد شده توسط J. Thompson در نظر گرفت.

It was already in 1964 [Fis66] when B. Fischer raised the question: Which finite groups can be generated by a conjugacy class D of involutions, the product of any two of which has order 1, 2 or 37 Such a class D he called a class of 3-tmnspositions of G. This question is quite natural, since the class of transpositions of a symmetric group possesses this property. Namely the order of the product (ij)(kl) is 1, 2 or 3 according as {i,j} n {k,l} consists of 2,0 or 1 element. In fact, if I{i,j} n {k,I}1 = 1 and j = k, then (ij)(kl) is the 3-cycle (ijl). After the preliminary papers [Fis66] and [Fis64] he succeeded in [Fis71J, [Fis69] to classify all finite "nearly" simple groups generated by such a class of 3-transpositions, thereby discovering three new finite simple groups called M(22), M(23) and M(24). But even more important than his classification theorem was the fact that he originated a new method in the study of finite groups, which is called "internal geometric analysis" by D. Gorenstein in his book: Finite Simple Groups, an Introduction to their Classification. In fact D. Gorenstein writes that this method can be regarded as second in importance for the classification of finite simple groups only to the local group-theoretic analysis created by J. Thompson.