A Variational Inequality Approach to free Boundary Problems with Applications in Mould Filling

از اوایل دهه 1960، نظریه ریاضی نابرابری های متغیر به سرعت در حال توسعه است، بر اساس تجزیه و تحلیل پیچیده و به شدت تحت تاثیر کاربرد "زندگی واقعی". بسیاری، اما البته نه همه، مسائل مرزی متحرک (Le.، پیشینی ناشناخته) که از کاربردهای مهندسی و اقتصادی سرچشمه می‌گیرند، می‌توانند مستقیماً یا پس از یک تبدیل، به عنوان نابرابری‌های متغیر فرموله شوند. در این کار ما یک نابرابری تغییرات تکاملی را با یک اصطلاح حافظه بررسی می‌کنیم که به عنوان یک فرمول دامنه ثابت، نتیجه اعمال چنین تبدیلی برای یک مسئله مرز آزاد متحرک منحط است. این مطالعه شامل مدل‌سازی ریاضی، وجود، نتایج منحصر به فرد و منظم، تحلیل عددی تقریب‌های المان محدود و حجم محدود، و همچنین نتایج شبیه‌سازی عددی برای کاربردها در پردازش پلیمر است. بخش‌های اساسی این یادداشت‌های تحقیقاتی در طول کار من در کرسی ریاضیات کاربردی (LAM) دانشگاه فنی مونیخ ایجاد شد. من می خواهم صمیمانه ترین قدردانی خود را از K. -H. هافمن، رئیس این کرسی و مدیر علمی کنونی مرکز مطالعات و تحقیقات پیشرفته اروپایی (سزار)، به دلیل تشویق و حمایت وی. با این کار، من یک مفهوم کلی از ریاضیات کاربردی را دنبال می کنم که او علاقه من را به آن معطوف کرد و بر اساس مسائل کاربردی، مدل سازی ریاضی، تحلیل ریاضی و عددی، جنبه های محاسباتی و تجسم نتایج شبیه سازی را شامل می شود.

Since the early 1960s, the mathematical theory of variational inequalities has been under rapid development, based on complex analysis and strongly influenced by 'real-life' application. Many, but of course not all, moving free (Le. , a priori un­ known) boundary problems originating from engineering and economic applica­ tions can directly, or after a transformation, be formulated as variational inequal­ ities. In this work we investigate an evolutionary variational inequality with a memory term which is, as a fixed domain formulation, the result of the application of such a transformation to a degenerate moving free boundary problem. This study includes mathematical modelling, existence, uniqueness and regularity results, numerical analysis of finite element and finite volume approximations, as well as numerical simulation results for applications in polymer processing. Essential parts of these research notes were developed during my work at the Chair of Applied Mathematics (LAM) of the Technical University Munich. I would like to express my sincerest gratitude to K. -H. Hoffmann, the head of this chair and the present scientific director of the Center of Advanced European Studies and Research (caesar), for his encouragement and support. With this work I am fol­ lowing a general concept of Applied Mathematics to which he directed my interest and which, based on application problems, comprises mathematical modelling, mathematical and numerical analysis, computational aspects and visualization of simulation results.