A Stability Technique for Evolution Partial Differential Equations: A Dynamical Systems Approach

ویژگی مشترک این است که این مسائل تکاملی را می‌توان به صورت مجانبی به‌عنوان اغتشاشات کوچک سیستم‌های دینامیکی خاص با رفتار شناخته‌شده‌تر فرمول‌بندی کرد. در حال حاضر، معمولاً اتفاق می افتد که اغتشاش به معنای بسیار ضعیف کوچک است، بنابراین دشواری (یا غیرممکن) استفاده از تکنیک های کلاسیک بیشتر است. اگرچه این روش با تجزیه و تحلیل رفتار بحرانی برای PDEهای تکاملی منشا گرفته شده است، اما در فرمول انتزاعی خود با یک معادله دیفرانسیل انتزاعی غیر مستقل (NDE) سر و کار دارد (1) Ut = A(u) + C(u, t)، t> 0، جایی که u مقادیری در فضای Banach دارد، مانند فضای LP، A یک عملگر مستقل (مستقل از زمان) است و C یک اغتشاش مجانبی کوچک است، به طوری که C(u(t)، t) ~ ° به عنوان t ~ 00 در امتداد مدارهای {u(t)} تکامل به تعبیری دقیق، که در عمل می تواند بسیار ضعیف باشد. ما در شرایطی کار می کنیم که در آن معادله دیفرانسیل خودمختار (حد) (ADE) Ut = A(u) (2) دارای یک رفتار مجانبی شناخته شده است و می خواهیم ثابت کنیم که برای زمان های زیادی مدارهای مسئله تکامل اولیه به کلاس خاصی از حدود معادله خودمختار همگرا می شوند. به طور دقیق‌تر، می‌خواهیم ثابت کنیم که مدارهای (NDE) توسط یک مجموعه حد معین [2* از (ADE) جذب می‌شوند، که ممکن است متشکل از تعادل‌های معادله خودمختار باشد، یا می‌تواند جسم پیچیده‌تری باشد. p>

common feature is that these evolution problems can be formulated as asymptoti­ cally small perturbations of certain dynamical systems with better-known behaviour. Now, it usually happens that the perturbation is small in a very weak sense, hence the difficulty (or impossibility) of applying more classical techniques. Though the method originated with the analysis of critical behaviour for evolu­ tion PDEs, in its abstract formulation it deals with a nonautonomous abstract differ­ ential equation (NDE) (1) Ut = A(u) + C(u, t), t > 0, where u has values in a Banach space, like an LP space, A is an autonomous (time-independent) operator and C is an asymptotically small perturbation, so that C(u(t), t) ~ ° as t ~ 00 along orbits {u(t)} of the evolution in a sense to be made precise, which in practice can be quite weak. We work in a situation in which the autonomous (limit) differential equation (ADE) Ut = A(u) (2) has a well-known asymptotic behaviour, and we want to prove that for large times the orbits of the original evolution problem converge to a certain class of limits of the autonomous equation. More precisely, we want to prove that the orbits of (NDE) are attracted by a certain limit set [2* of (ADE), which may consist of equilibria of the autonomous equation, or it can be a more complicated object.