A Spectral Theory for Simply Periodic Solutions of the Sinh-Gordon Equation

این کتاب یک نظریه طیفی برای سیستم یکپارچه‌پذیر راه‌حل‌های دو بعدی، ساده تناوبی و با ارزش پیچیده u معادله سین-گوردون توسعه می‌دهد. چنین راه حل هایی (اگر ارزش واقعی داشته باشند) با سطوح انحنای میانگین ثابت خاصی در فضای 3 اقلیدسی مطابقت دارند. داده‌های طیفی برای چنین راه‌حل‌هایی تعریف می‌شوند (به دنبال ایده‌های هیچین و بوبنکو) و فضای داده‌های طیفی با توصیف مجانبی توصیف می‌شوند. با استفاده از روش‌های تخمین مجانبی، مسئله معکوس برای داده‌های طیفی در امتداد یک خط حل می‌شود، یعنی راه‌حل u بر روی یک خط از داده‌های طیفی بازسازی می‌شود. در نهایت، یک رقم Jacobi و نقشه آبل برای منحنی طیفی ساخته شده و برای توصیف تغییر داده های طیفی تحت ترجمه راه حل u استفاده می شود. مخاطبان اصلی کتاب، ریاضیدانان محققی خواهند بود که به نظریه سیستم‌های یکپارچه‌پذیر بی‌بعد یا هندسه سطوح انحنای میانگین ثابت علاقه دارند.

This book develops a spectral theory for the integrable system of 2-dimensional, simply periodic, complex-valued solutions u of the sinh-Gordon equation. Such solutions (if real-valued) correspond to certain constant mean curvature surfaces in Euclidean 3-space. Spectral data for such solutions are defined (following ideas of Hitchin and Bobenko) and the space of spectral data is described by an asymptotic characterization. Using methods of asymptotic estimates, the inverse problem for the spectral data is solved along a line, i.e. the solution u is reconstructed on a line from the spectral data. Finally, a Jacobi variety and Abel map for the spectral curve are constructed and used to describe the change of the spectral data under translation of the solution u. The book's primary audience will be research mathematicians interested in the theory of infinite-dimensional integrable systems, or in the geometry of constant mean curvature surfaces.