A Road to Randomness in Physical Systems

راه های زیادی برای معرفی مفهوم احتمال در کلاسیک وجود دارد، i. e، تعیین کننده، فیزیک. این کار به یک رویکرد مربوط می‌شود، که به «روش کار خودسرانه» معروف است. این روش توسط پوانکر در سال 1896 ارائه شد و توسط هاپف در دهه 1930 توسعه یافت. ایده به شرح زیر است. همیشه در دانش ما از شرایط اولیه و مقادیر ثابت‌های فیزیکی که تکامل یک سیستم فیزیکی را مشخص می‌کنند، ابهامی وجود دارد. یک چگالی احتمال ممکن است برای توصیف این عدم قطعیت استفاده شود. برای بسیاری از سیستم های فیزیکی، وابستگی به چگالی اولیه با گذشت زمان از بین می رود. در این موارد، بدون توجه به چگالی که برای توصیف عدم قطعیت اولیه استفاده می شود، موقعیت سیستم در نهایت به همان متغیر تصادفی همگرا می شود. نتایج Hopf برای روش توابع دلخواه مشتق شده و به صورت یکپارچه در این یادداشت‌های سخنرانی گسترش یافته است. آنها شامل کار او در مورد سیستم های اتلاف کننده در معرض نیروهای اصطکاک ضعیف هستند. برجسته ترین در میان مشکلاتی که او در نظر می گیرد، مثال چرخ کارناوال او است، که اولین موردی است که توزیع احتمال را نمی توان از روی تقارن یا سایر ملاحظات معقول حدس زد، اما باید از ترکیب فیزیک واقعی با روش توابع دلخواه استخراج شود. نمونه هایی از نویسندگان دیگر، مانند قانون سیارات کوچک پوانکر، مسئله بیلیارد بورل و تحلیل پرتاب سکه کلر نیز با استفاده از این چارچوب مورد مطالعه قرار می گیرند. در نهایت، بسیاری از برنامه های کاربردی جدید ارائه شده است.

There are many ways of introducing the concept of probability in classical, i. e, deter­ ministic, physics. This work is concerned with one approach, known as "the method of arbitrary funetionJ. " It was put forward by Poincare in 1896 and developed by Hopf in the 1930's. The idea is the following. There is always some uncertainty in our knowledge of both the initial conditions and the values of the physical constants that characterize the evolution of a physical system. A probability density may be used to describe this uncertainty. For many physical systems, dependence on the initial density washes away with time. Inthese cases, the system's position eventually converges to the same random variable, no matter what density is used to describe initial uncertainty. Hopf's results for the method of arbitrary functions are derived and extended in a unified fashion in these lecture notes. They include his work on dissipative systems subject to weak frictional forces. Most prominent among the problems he considers is his carnival wheel example, which is the first case where a probability distribution cannot be guessed from symmetry or other plausibility considerations, but has to be derived combining the actual physics with the method of arbitrary functions. Examples due to other authors, such as Poincare's law of small planets, Borel's billiards problem and Keller's coin tossing analysis are also studied using this framework. Finally, many new applications are presented.