A Primer on Hilbert Space Theory: Linear Spaces, Topological Spaces, Metric Spaces, Normed Spaces, and Topological Groups (UNITEXT for Physics)

این کتاب مقدمه‌ای اساسی بر نظریه فضای هیلبرت، ابزاری اساسی برای مکانیک کوانتومی غیرنسبیتی ارائه می‌کند. فضاهای خطی، توپولوژیکی، متریک و هنجاری همگی با جزئیات، به شیوه ای دقیق اما خواننده پسند مورد بررسی قرار می گیرند. منطق ارائه مقدمه ای بر نظریه فضای هیلبرت، به جای مطالعه دقیق خود نظریه فضای هیلبرت، در نیازهای سخت ریاضیات نهفته است که حتی ساده ترین موارد فیزیکی مستلزم آن هستند. دوره های تحصیلات تکمیلی فیزیک به ندرت زمان کافی برای پوشش نظریه فضا و عملگرهای هیلبرت و همچنین تئوری توزیع با دقت ریاضی کافی ارائه می دهند. بر این اساس، باید بین سختگیری کامل و استفاده عملی از ابزار سازش پیدا کرد. این کتاب بر اساس یکی از سخنرانی‌های نویسندگان در مورد تحلیل عملکردی برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی فیزیک، خوانندگان را مجهز می‌کند تا به فضای هیلبرت و متعاقباً فضای هیلبرت تقلبی با نگرش عملی‌تری نزدیک شوند. همچنین شامل معرفی مختصری از گروه های توپولوژیکی و سایر ساختارهای ریاضی مشابه فضای هیلبرت است. تمرین ها و مسائل حل شده متن اصلی را همراهی می کند و به خوانندگان فرصت هایی برای عمیق تر کردن درک خود ارائه می دهد. موضوعات و ارائه آنها با هدف آماده سازی سریع و در عین حال دقیق و مؤثر خوانندگان برای پیچیدگی های فضای هیلبرت انتخاب شده اند. در نتیجه، برخی از موضوعات، به عنوان مثال، انتگرال Lebesgue، به شیوه ای تا حدی غیرمتعارف بررسی می شود. این کتاب برای استفاده در دوره های کارشناسی ارشد و کارشناسی ارشد، هم در فیزیک و هم در ریاضیات ایده آل است.

This book offers an essential introduction to the theory of Hilbert space, a fundamental tool for non-relativistic quantum mechanics. Linear, topological, metric, and normed spaces are all addressed in detail, in a rigorous but reader-friendly fashion.  The rationale for providing an introduction to the theory of Hilbert space, rather than a detailed study of Hilbert space theory itself, lies in the strenuous mathematics demands that even the simplest physical cases entail. Graduate courses in physics rarely offer enough time to cover the theory of Hilbert space and operators, as well as distribution theory, with sufficient mathematical rigor. Accordingly, compromises must be found between full rigor and the practical use of the instruments. Based on one of the authors’s lectures on functional analysis for graduate students in physics, the book will equip readers to approach Hilbert space and, subsequently, rigged Hilbert space, with a more practical attitude. It also includes a brief introduction to topological groups, and to other mathematical structures akin to Hilbert space. Exercises and solved problems accompany the main text, offering readers opportunities to deepen their understanding. The topics and their presentation have been chosen with the goal of quickly, yet rigorously and effectively, preparing readers for the intricacies of Hilbert space. Consequently, some topics, e.g., the Lebesgue integral, are treated in a somewhat unorthodox manner. The book is ideally suited for use in upper undergraduate and lower graduate courses, both in Physics and in Mathematics.