A Nonlinear Theory of Generalized Functions

این کتاب مقدمه‌ای ساده برای نظریه غیرخطی توابع تعمیم‌یافته ارائه‌شده توسط J.F. Colombeau ارائه می‌کند که به هر ضرب توزیع معنا می‌دهد. این نظریه از ریاضیات محض (تعمیم وفادارانه ای از نظریه کلاسیک توابع C را ارائه می دهد و ترکیبی از اکثر ضرب های موجود توزیع ها را ارائه می دهد) تا فیزیک (به حل ابهاماتی که در محصولات توزیع ها ظاهر می شوند) امتداد می یابد. تئوری معادلات دیفرانسیل جزئی هم از نظر نظری (مفهومی از حل ضعیف pde را ارائه می دهد که در بسیاری از موارد که راه حل توزیعی وجود ندارد منجر به نتایج منحصر به فرد می شود) و هم از دیدگاه عددی (روش های جدید و کارآمدی را معرفی می کند که اخیراً در الاستو پلاستیسیته، هیدرودینامیک و آکوستیک). این متن مفاهیم و نتایج اولیه ای را ارائه می کند که تاکنون فقط به صورت مقاله منتشر شده است. برای ریاضیدانان در نظر گرفته شده است، اما از آنجایی که تئوری و کاربردها از هم جدا نیستند، ممکن است برای فیزیکدانان و مهندسان نیز مفید باشد. پیش نیازهای لازم برای خواندن آن اساساً به مفاهیم کلاسیک حساب دیفرانسیل و نظریه ادغام در فضاهای اقلیدسی n بعدی تقلیل می‌یابد.

This book provides a simple introduction to a nonlinear theory of generalized functions introduced by J.F. Colombeau, which gives a meaning to any multiplication of distributions. This theory extends from pure mathematics (it presents a faithful generalization of the classical theory of C? functions and provides a synthesis of most existing multiplications of distributions) to physics (it permits the resolution of ambiguities that appear in products of distributions), passing through the theory of partial differential equations both from the theoretical viewpoint (it furnishes a concept of weak solution of pde's leading to existence-uniqueness results in many cases where no distributional solution exists) and the numerical viewpoint (it introduces new and efficient methods developed recently in elastoplasticity, hydrodynamics and acoustics). This text presents basic concepts and results which until now were only published in article form. It is in- tended for mathematicians but, since the theory and applications are not dissociated it may also be useful for physicists and engineers. The needed prerequisites for its reading are essentially reduced to the classical notions of differential calculus and the theory of integration over n-dimensional euclidean spaces.