A New Kirchhoff-Love Beam Element and its Application to Polymer Mechanics

فرمول‌بندی‌های جدید اجزای محدود در دسته تیرهای Kirchhoff-Love از نظر هندسی دقیق قرار می‌گیرند. ویژگی بارز این دسته این است که عدم تغییر شکل برشی با حذف دو درجه آزادی به شدت اعمال می شود. علاوه بر این، تئوری های پرتو متناظر نه تنها درجات آزادی انتقالی، بلکه همچنین درجات چرخشی را نشان می دهند و پیکربندی های آنها در نتیجه یک فضای غیرافزودنی و غیر جابه جایی را تشکیل می دهند. طرح‌های درون‌یابی پیچیده مورد نیاز است که نه تنها برای قفل کردن، رفتار هم‌گرایی فضایی، و حفظ انرژی، بلکه برای تغییر ناپذیری ناظر و استقلال مسیر نیز باید آزمایش شوند. برای سه فرمولاسیون المان تیر جدید، تمام این خواص به صورت تحلیلی و عددی مورد مطالعه و تایید قرار می گیرند، در صورت امکان. دو استراتژی پارامتری چرخش متفاوت بر اساس درونیابی ژئودزیکی شناخته شده مورد استفاده در بسیاری از تیرهای سیمو رایسنر و تقسیم کمتر شناخته شده به به اصطلاح \textit{کوچکترین چرخش} و یک قسمت پیچشی استفاده می شود. استفاده از پارامترهای قبلی منجر به یک فرمول ترکیبی اجزای محدود می شود که ذاتاً عاری از پدیده قفل شدن است. علاوه بر این، اولین عنصر پرتو Kirchhoff-Love از نظر هندسی دقیق ارائه شده است که با حذف درجه دیگری از آزادی، به شدت گسترش ناپذیری را اعمال می کند. علاوه بر این، کارایی عددی فرمولاسیون تیر جدید با سایر عناصر تیر که امکان تغییر شکل برشی یا سرکوب را فراهم می‌کنند، مقایسه می‌شود. هنگام مدل‌سازی تیرهای بسیار باریک، عناصر جدید مزایای عددی مشخصی را ارائه می‌دهند.

شبیه‌سازی‌های دینامیک مولکولی استاندارد، که معمولاً برای مطالعه پلیمرها استفاده می‌شوند، از فقدان یک مبنای ریاضی دقیق رنج می‌برند. و استفاده از یک طرح ادغام زمان صریح گران قیمت. برای دور زدن این کاستی‌ها و برای شبیه‌سازی آزمایش‌های کشش در مقیاس‌های زمانی مربوطه، مشکل با یک معادله دیفرانسیل جزئی تصادفی توصیف می‌شود که می‌تواند با استفاده از روش اجزای محدود با گسسته‌سازی زمانی اویلر عقب‌افتاده حل شود. در جزئیات، پلیمر با یک تیر Kirchhoff-Love با یک مدل ساختاری الاستیک خطی نشان داده شده است. نیروهای اینرسی و الکترواستاتیک نادیده گرفته می شوند. با یک بار توزیع شده تقلید از برخورد با مولکول های مایع اطراف تغییر شکل می دهد. به طور طبیعی، این بار به شدت در طول زمان و مکان در نوسان است و مقادیر میانگین باید به روش مونت کارلو محاسبه شوند. برای سرعت بخشیدن به فرآیند برازش داده‌های تجربی در چارچوب بیزی، یک مدل جایگزین مبتنی بر فرآیند گاوسی راه‌اندازی می‌شود که مستقیماً مقادیر میانگین را برای پارامترهای ماده داده شده محاسبه می‌کند. عدم قطعیت ها و همبستگی های پارامترهای مواد مورد مطالعه قرار گرفته و با ادبیات مقایسه شده است.

The novel finite element formulations fall into the category of geometrically exact Kirchhoff-Love beams. A prominent characteristic of this category is that the absence of shear deformation is strongly enforced by removing two degrees of freedom. Further, the corresponding beam theories exhibit not only translational but also rotational degrees of freedom and their configurations thus form a non-additive and non-commutative space. Sophisticated interpolation schemes are required that need to be tested not only for locking, spatial convergence behavior, and energy conservation, but also for observer invariance and path-independence. For the three novel beam element formulations all these properties are analytically and numerically studied and confirmed, if applicable. Two different rotation parameterization strategies are employed based on the well-known geodesic interpolation used in many Simo-Reissner beams and the lesser known split into the so-called \textit{smallest rotation} and a torsional part. Application of the former parameterization results in a mixed finite element formulation intrinsically free of locking phenomena. Additionally, the first geometrically exact Kirchhoff-Love beam element is presented, which strongly enforces inextensibility by removing another degree of freedom. Furthermore, the numerical efficiency of the new beam formulations is compared to other beam elements that allow for or suppress shear deformation. When modeling very slender beams, the new elements offer distinct numerical advantages.

Standard molecular dynamics simulations, which are commonly used to study polymers, suffer from a lack of a careful mathematical basis and the use of an expensive explicit time integration scheme. To circumvent these shortcomings and to be able to simulate stretching experiments on relevant time scales, the problem is described by a stochastic partial differential equation, which can be solved using the finite element method with a backward Euler temporal discretization. In detail, the polymer is represented by a Kirchhoff-Love beam with a linear elastic constitutive model. Inertial and electrostatic forces are neglected. It is deformed by a distributed load mimicking collisions with molecules of the surrounding fluid. Naturally, this load heavily fluctuates over time and space and mean values need to be computed in a Monte Carlo manner. To vastly speed up the fitting process to experimental data in a Bayesian framework, a surrogate model based on a Gaussian process is set up, which directly computes the mean values for given material parameters. The uncertainties and correlations of the material parameters are studied and compared to the literature.