A Modern Perspective on Type Theory: From its Origins until Today

: در اواخر قرن نوزدهم، فرگه اصول انتزاع و مفهوم کلی توابع را به ما داد. خود کاربرد توابع در قلب پارادوکس راسل قرار داشت. این امر باعث شد راسل به منظور اجتناب از پارادوکس، نظریه نوع را معرفی کند. از آن زمان، قرن بیستم شاهد تعداد شگفت انگیزی از نظریه های مربوط به انواع و کارکردها و کاربردهای بسیاری بوده است. پیشرفت در علوم کامپیوتر همچنین به معنای تأکید بیشتر و بیشتر بر استفاده از منطق، انواع و توابع برای مطالعه نحو، معناشناسی، طراحی و اجرای زبان‌های برنامه‌نویسی و اثبات‌کننده‌های قضیه، و درستی برهان‌ها و برنامه‌ها بود. نویسندگان این کتاب خود با ارائه الحاقات مختلف تئوری نوع که مزایای زیادی به همراه دارد، پیشتاز بوده اند. این کتاب بسیاری از آثار تاثیرگذار آنها را گردآوری می‌کند و به همه علاقه‌مندان به نظریه نوع توصیه می‌شود. تاکید اصلی بر روی موارد زیر است:

- انواع: از راسل تا رمزی، تا چرچ، تا سیستم‌های نوع خالص مدرن و برخی از توسعه‌های آنها.

- توابع: از فرگه، تا راسل تا کلیسا، تا اتومات و استفاده از توابع در ریاضیات، زبان های برنامه نویسی و اثبات قضیه.

- نقش انواع در منطق: مفهوم کریپکی از صدق، تکامل و نقش گزاره ها به عنوان مفهوم انواع و کاربرد آن در چارچوب های منطقی.

- نقش انواع در محاسبات: بسط تئوری های نوع که بهتر می توانند بررسی کننده های اثبات و زبان های برنامه نویسی را مدل سازی کنند، آورده شده است.

بخش اول کتاب تاریخی است، اما در عین حال، سیستم های تاریخی (مانند RTT راسل) را در فضای مدرن قرار می دهد. بخش دوم به نظریه نوع مدرن می پردازد که از دهه 1940 توسعه یافته است، و با نقش گزاره ها به عنوان انواع (یا برهان ها به عنوان اصطلاحات)، اما در عین حال، سیستم تاریخی دیگری (اثبات جستجوگر اتومات) را در محیط مدرن قرار می دهد. . بخش سوم از این پل زدن در دو بخش اول بین سیستم‌های تاریخی و مدرن استفاده می‌کند تا سیستم‌های جدیدی را پیشنهاد کند که مزیت‌های بیشتری را در کنار هم قرار دهد. این کتاب چیزهای زیادی برای ارائه به ریاضیدانان، منطق دانان و به طور کلی به دانشمندان کامپیوتر دارد. این تاثیر قابل توجهی برای سال های آینده خواهد داشت. - هنک بارندرگت

`Towards the end of the nineteenth century, Frege gave us the abstraction principles and the general notion of functions. Self-application of functions was at the heart of Russell's paradox. This led Russell to introduce type theory in order to avoid the paradox. Since, the twentieth century has seen an amazing number of theories concerned with types and functions and many applications. Progress in computer science also meant more and more emphasis on the use of logic, types and functions to study the syntax, semantics, design and implementation of programming languages and theorem provers, and the correctness of proofs and programs. The authors of this book have themselves been leading the way by providing various extensions of type theory which have been shown to bring many advantages. This book gathers much of their influential work and is highly recommended for anyone interested in type theory. The main emphasis is on:

- Types: from Russell to Ramsey, to Church, to the modern Pure Type Systems and some of their extensions.

- Functions: from Frege, to Russell to Church, to Automath and the use of functions in mathematics, programming languages and theorem provers.

- The role of types in logic: Kripke's notion of truth, the evolution and role of the propositions as types concept and its use in logical frameworks.

- The role of types in computation: extensions of type theories which can better model proof checkers and programming languages are given.

The first part of the book is historical, yet at the same time, places historical systems (like Russell's RTT) in the modern setting. The second part deals with modern type theory as it developed since the 1940s, and with the role of propositions as types (or proofs as terms), but at the same time, places another historical system (the proof checker Automath) in the modern setting. The third part uses this bridging in the first two parts between historical and modern systems to propose new systems that bring more advantages together. This book has much to offer to mathematicians, logicians and to computer scientists in general. It will have considerable influence for many years to come.' - Henk Barendregt