A History of Abstract Algebra

Contents......Page 7
Preface......Page 11
1.1 Early roots......Page 15
1.2 The Greeks......Page 16
1.3 Al-Khwarizmi......Page 17
1.4 Cubic and quartic equations......Page 19
1.5 The cubic and complex numbers......Page 21
1.6 Algebraic notation: Viète and Descartes......Page 22
1.7 The theory of equations and the Fundamental Theorem of Algebra......Page 24
1.8 Symbolical algebra......Page 27
References......Page 28
2.1 Sources of group theory......Page 31
2.2 Development of fispecializedfl theories of groups......Page 36
2.3 Emergence of abstraction in group theory......Page 44
2.4 Consolidation of the abstract group concept; dawn of abstract group theory......Page 47
2.5 Divergence of developments in group theory......Page 49
References......Page 52
3 History of Ring Theory......Page 55
3.1 Noncommutative ring theory......Page 56
3.2 Commutative ring theory......Page 61
3.3 The abstract de nition of a ring......Page 72
3.4 Emmy Noether and Emil Artin......Page 73
References......Page 74
4.1 Galois theory......Page 77
4.2 Algebraic number theory......Page 78
4.3 Algebraic geometry......Page 82
4.4 Congruences......Page 84
4.6 The abstract de nition of a eld......Page 85
4.7 Hensel’s p-adic numbers......Page 87
4.8 Steinitz......Page 88
4.9 A glance ahead......Page 90
References......Page 91
5.1 Linear equations......Page 93
5.2 Determinants......Page 95
5.3 Matrices and linear transformations......Page 96
5.4 Linear independence, basis, and dimension......Page 98
5.5 Vector spaces......Page 100
References......Page 103
6 Emmy Noether and the Advent of Abstract Algebra......Page 105
6.1 Invariant theory......Page 106
6.2 Commutative algebra......Page 108
6.3 Noncommutative algebra and representation theory......Page 111
6.4 Applications of noncommutative to commutative algebra......Page 112
6.5 Noether’s legacy......Page 113
References......Page 115
7 A Course in Abstract Algebra Inspired by History......Page 117
Problem I:Why is (−1)(−1) = 1?......Page 118
Problem II: What are the integer solutions of x^2 + 2 = y^3?......Page 119
Problem III: Can we trisect a 60◦ angle using only straightedge and compass?......Page 120
Problem V: “Papa, can you multiply triples?”......Page 122
General remarks on the course......Page 123
References......Page 124
8.1 Arthur Cayley (1821–1895)......Page 127
References......Page 134
8.2 Richard Dedekind (1831–1916)......Page 135
References......Page 146
8.3 Evariste Galois (1811–1832)......Page 147
8.4 Carl Friedrich Gauss (1777–1855)......Page 153
8.5 William Rowan Hamilton (1805–1865)......Page 158
References......Page 170
8.6 Emmy Noether (1882–1935)......Page 171
References......Page 176
Index......Page 179