A concise introduction to mathematical logic

منطق سنتی به عنوان بخشی از فلسفه یکی از قدیمی ترین رشته های علمی است و می توان آن را به رواقیون و ارسطو جستجو کرد. منطق ریاضی، با این حال، یک رشته نسبتاً جوان است و از تلاش‌های Peano، Frege و دیگران برای ایجاد یک پایه لجستیکی برای ریاضیات برخاسته است. این کتاب به طور پیوسته در طول قرن بیستم به یک رشته گسترده با چندین حوزه فرعی و کاربردهای متعدد در ریاضیات، انفورماتیک، زبان‌شناسی و فلسفه تبدیل شد.

این کتاب مهم‌ترین مطالب را به صورت مختصر و ساده بررسی می‌کند. ویرایش سوم یک بازنگری کامل و گسترده از نسخه قبلی است. اگرچه این کتاب برای استفاده به عنوان متن فارغ التحصیل در نظر گرفته شده است، اما سه فصل اول به راحتی توسط دانشجویان علاقه مند به منطق ریاضی قابل خواندن است. این فصول اولیه، مطالب مربوط به دوره مقدماتی منطق ریاضی، همراه با کاربردهای تکنیک های رسمی سازی برای تئوری مجموعه ها را پوشش می دهد. فصل 3 تا حدودی ماهیت توصیفی دارد و دیدگاهی در مورد مسائل تصمیم‌گیری الگوریتمی، اثبات قضیه خودکار، مدل‌های غیراستاندارد شامل تجزیه و تحلیل غیراستاندارد و موضوعات مرتبط ارائه می‌دهد.

فصل‌های باقی‌مانده حاوی مطالب اساسی در برنامه‌نویسی منطقی است. برای منطق دانان و دانشمندان کامپیوتر، نظریه مدل، نظریه بازگشت، قضایای ناتمامی گودل، و کاربردهای منطق ریاضی. مسائل فلسفی و بنیادی ریاضیات در سراسر متن مورد بحث قرار گرفته است. هر بخش از هفت فصل با تمرین هایی به پایان می رسد که برخی از آنها برای خود متن اهمیت دارند. نکاتی برای اکثر تمرین‌ها در فایل جداگانه‌ای وجود دارد که بخشی از کتاب نیست، اما در وب‌سایت نویسنده موجود است.

Traditional logic as a part of philosophy is one of the oldest scientific disciplines and can be traced back to the Stoics and to Aristotle. Mathematical logic, however, is a relatively young discipline and arose from the endeavors of Peano, Frege, and others to create a logistic foundation for mathematics. It steadily developed during the twentieth century into a broad discipline with several sub-areas and numerous applications in mathematics, informatics, linguistics and philosophy.

This book treats the most important material in a concise and streamlined fashion. The third edition is a thorough and expanded revision of the former. Although the book is intended for use as a graduate text, the first three chapters can easily be read by undergraduates interested in mathematical logic. These initial chapters cover the material for an introductory course on mathematical logic, combined with applications of formalization techniques to set theory. Chapter 3 is partly of descriptive nature, providing a view towards algorithmic decision problems, automated theorem proving, non-standard models including non-standard analysis, and related topics.

The remaining chapters contain basic material on logic programming for logicians and computer scientists, model theory, recursion theory, Gödel’s Incompleteness Theorems, and applications of mathematical logic. Philosophical and foundational problems of mathematics are discussed throughout the text. Each section of the seven chapters ends with exercises some of which of importance for the text itself. There are hints to most of the exercises in a separate file Solution Hints to the Exercises which is not part of the book but is available from the author’s website.