A comprehensive course in number theory

Cover......Page 1
A Comprehensive Course in Number Theory......Page 2
Contents......Page 6
Preface......Page 12
Introduction......Page 14
1.2 Division algorithm......Page 18
1.4 Euclid’s algorithm......Page 19
1.6 Properties of the primes......Page 21
1.7 Further reading......Page 23
1.8 Exercises......Page 24
2.1 The function [x]......Page 25
2.3 Euler’s (totient) function φ(n)......Page 26
2.4 The Möbius function μ(n)......Page 27
2.5 The functions τ(n) and σ(n)......Page 29
2.6 Average orders......Page 30
2.7 Perfect numbers......Page 31
2.8 The Riemann zeta-function......Page 32
2.10 Exercises......Page 34
3.2 Chinese remainder theorem......Page 36
3.4 Wilson’s theorem......Page 38
3.5 Lagrange’s theorem......Page 39
3.6 Primitive roots......Page 40
3.9 Exercises......Page 43
4.2 Euler’s criterion......Page 45
4.3 Gauss’ lemma......Page 46
4.4 Law of quadratic reciprocity......Page 47
4.5 Jacobi’s symbol......Page 49
4.6 Further reading......Page 50
4.7 Exercises......Page 51
5.1 Equivalence......Page 53
5.2 Reduction......Page 54
5.3 Representations by binary forms......Page 55
5.4 Sums of two squares......Page 56
5.5 Sums of four squares......Page 57
5.6 Further reading......Page 58
5.7 Exercises......Page 59
6.1 Dirichlet’s theorem......Page 60
6.2 Continued fractions......Page 61
6.3 Rational approximations......Page 63
6.4 Quadratic irrationals......Page 65
6.5 Liouville’s theorem......Page 68
6.6 Transcendental numbers......Page 70
6.7 Minkowski’s theorem......Page 72
6.8 Further reading......Page 75
6.9 Exercises......Page 76
7.1 Algebraic number fields......Page 78
7.2 The quadratic field......Page 79
7.3 Units......Page 80
7.4 Primes and factorization......Page 82
7.5 Euclidean fields......Page 83
7.6 The Gaussian field......Page 85
7.7 Further reading......Page 86
7.8 Exercises......Page 87
8.1 The Pell equation......Page 88
8.2 The Thue equation......Page 91
8.3 The Mordell equation......Page 93
8.4 The Fermat equation......Page 97
8.5 The Catalan equation......Page 100
8.6 The abc-conjecture......Page 102
8.7 Further reading......Page 104
8.8 Exercises......Page 105
9.1 Fermat pseudoprimes......Page 107
9.2 Euler pseudoprimes......Page 108
9.4 Fermat bases......Page 110
9.5 The continued-fraction method......Page 111
9.6 Pollard’s method......Page 113
9.8 Further reading......Page 114
9.9 Exercises......Page 115
10.1 Introduction......Page 116
10.3 Algebraic number fields......Page 117
10.4 Dimension theorem......Page 118
10.5 Norm and trace......Page 119
10.6 Algebraic integers......Page 120
10.7 Basis and discriminant......Page 121
10.8 Calculation of bases......Page 123
10.10 Exercises......Page 126
11.2 Definitions......Page 128
11.3 Principal ideals......Page 129
11.4 Prime ideals......Page 130
11.5 Norm of an ideal......Page 131
11.6 Formula for the norm......Page 132
11.7 The different......Page 134
11.9 Exercises......Page 137
12.1 Units......Page 139
12.2 Dirichlet’s unit theorem......Page 140
12.3 Ideal classes......Page 143
12.4 Minkowski’s constant......Page 145
12.5 Dedekind’s theorem......Page 146
12.6 The cyclotomic field......Page 148
12.7 Calculation of class numbers......Page 153
12.8 Local fields......Page 156
12.9 Further reading......Page 161
12.10 Exercises......Page 162
13.1 Introduction......Page 164
13.2 Dirichlet series......Page 165
13.3 Tchebychev’s estimates......Page 168
13.4 Partial summation formula......Page 170
13.5 Mertens’ results......Page 171
13.6 The Tchebychev functions......Page 173
13.7 The irrationality of ζ(3)......Page 174
13.8 Further reading......Page 176
13.9 Exercises......Page 177
14.1 Introduction......Page 179
14.2 The functional equation......Page 180
14.3 The Euler product......Page 183
14.4 On the logarithmic derivative of ζ(s)......Page 184
14.5 The Riemann hypothesis......Page 187
14.6 Explicit formula for ζ'(s)/ζ(s)......Page 188
14.7 On certain sums......Page 190
14.8 The Riemann–von Mangoldt formula......Page 191
14.10 Exercises......Page 194
15.1 The prime-number theorem......Page 196
15.2 Refinements and developments......Page 199
15.3 Dirichlet characters......Page 201
15.4 Dirichlet L-functions......Page 203
15.5 Primes in arithmetical progressions......Page 204
15.6 The class number formulae......Page 206
15.7 Siegel’s theorem......Page 208
15.9 Exercises......Page 211
16.1 The Eratosthenes sieve......Page 214
16.2 The Selberg upper-bound sieve......Page 215
16.3 Applications of the Selberg sieve......Page 219
16.4 The large sieve......Page 221
16.5 The circle method......Page 224
16.6 Additive prime number theory......Page 227
16.7 Further reading......Page 230
16.8 Exercises......Page 231
17.1 Introduction......Page 232
17.2 The Weierstrass ℘-function......Page 233
17.3 The Mordell–Weil group......Page 237
17.4 Heights on elliptic curves......Page 239
17.5 The Mordell–Weil theorem......Page 242
17.6 Computing the torsion subgroup......Page 245
17.7 Conjectures on the rank......Page 247
17.8 Isogenies and endomorphisms......Page 249
17.9 Further reading......Page 254
17.10 Exercises......Page 255
Bibliography......Page 257
Index......Page 263