A Collection of Problems on the Equations of Mathematical Physics

کاربرد گسترده تکنیک های ریاضی مدرن در فیزیک نظری و ریاضی مستلزم رویکردی تازه به درس معادلات فیزیک ریاضی است. این امر به ویژه در رابطه با مفهومی اساسی مانند حل 80 مسئله ارزش مرزی صادق است. مفهوم راه حل تعمیم یافته به طور قابل توجهی حوزه مسائل را گسترش می دهد و امکان حل جالب ترین مسائلی را که نمی توان با استفاده از روش های کشسانی حل کرد، از یک موقعیت یکپارچه امکان پذیر می کند. برای این منظور دو درس جدید در دپارتمان ریاضیات عالی در موسسه فناوری فیزیک مسکو نوشته شده است، یعنی "معادلات فیزیک ریاضی" اثر V. S. Vladimirov و "معادلات دیفرانسیل جزئی" توسط V. P. Mikhailov (هر دو کتاب. توسط ناشران میر به انگلیسی ترجمه شده است، اولین در سال 1984 و دوم در سال 1978). مجموعه مسائل حاضر بر اساس این دروس است و آنها را به میزان قابل توجهی تقویت می کند. علاوه بر مسائل ارزش مرزی کلاسیک، تعداد زیادی از مسائل ارزش مرزی را که تنها راه‌حل‌های تعمیم یافته دارند، در نظر نگرفته‌ایم. حل این موارد مستلزم استفاده از روش ها و نتایج شاخه های مختلف تحلیل مدرن است. به همین دلیل ما مشکلاتی را در Lebesgue در ادغام، مشکلات مربوط به فضاهای تابع (به ویژه فضاهای توابع قابل تفکیک تعمیم یافته) و توابع تعمیم یافته (با تبدیل فوریه و لاپلاس) و معادلات انتگرال را در نظر نگرفتیم.

The extensive application of modern mathematical teehniques to theoretical and mathematical physics requires a fresh approach to the course of equations of mathematical physics. This is especially true with regards to such a fundamental concept as the 80lution of a boundary value problem. The concept of a generalized solution considerably broadens the field of problems and enables solving from a unified position the most interesting problems that cannot be solved by applying elassical methods. To this end two new courses have been written at the Department of Higher Mathematics at the Moscow Physics anrl Technology Institute, namely, "Equations of Mathematical Physics" by V. S. Vladimirov and "Partial Differential Equations" by V. P. Mikhailov (both books have been translated into English by Mir Publishers, the first in 1984 and the second in 1978). The present collection of problems is based on these courses and amplifies them considerably. Besides the classical boundary value problems, we have ineluded a large number of boundary value problems that have only generalized solutions. Solution of these requires using the methods and results of various branches of modern analysis. For this reason we have ineluded problems in Lebesgue in­ tegration, problems involving function spaces (especially spaces of generalized differentiable functions) and generalized functions (with Fourier and Laplace transforms), and integral equations.