A Calculus for Factorial Arrangements

طرح های فاکتوری توسط فیشر (1935) معرفی و رایج شد. در میان نویسندگان اولیه، یتس (1937) هر دو طرح فاکتوریل متقارن و نامتقارن را در نظر گرفت. بوز و کیشن (1940) و بوز (1947) یک تئوری ریاضی برای فاکتوریل های متقارن و نیرومند ایجاد کردند در حالی که نایر و رو (1941، 1942، 1948) طرح های مخدوش متعادل را برای حالت نامتقارن معرفی و بررسی کردند. از آن زمان، در طول چهار دهه گذشته، رشد سریع تحقیقات در طرح های فاکتوریل وجود داشته است و علاقه قابل توجهی هنوز ادامه دارد. کورکجیان و زلن (1962، 1963) حساب تانسوری را برای ترتیبات فاکتوریل معرفی کردند که همانطور که توسط فدرر (1980) اشاره شد، یک ابزار تحلیلی آماری قدرتمند را در زمینه طرح‌های فاکتوریل نشان می‌دهد. کورکجیان و زلن (1963) تجزیه و تحلیل طرح های بلوک را با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال ارائه کردند و زلن و فدرر (1964) آن را برای تجزیه و تحلیل طرح ها با حذف دو طرفه ناهمگونی به کار بردند. زلن و فدرر (1965) از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای تجزیه و تحلیل طرح‌هایی استفاده کردند که دارای چندین طبقه‌بندی با تکرارهای نابرابر، بدون سلول‌های خالی و با تمام فعل و انفعالات موجود بودند. فدرر و زلن (1966) کاربردهای حساب را برای آزمایشات فاکتوریل در نظر گرفتند، زمانی که تیمارها به طور یکسان تکرار نمی شوند، و پیک و فدرر (1974) برای زمانی که برخی از ترکیبات تیمار در آزمایش گنجانده نشده اند، برنامه های افزودنی ارائه کردند. محاسبات، که شامل استفاده از محصولات کرونکر ماتریس‌ها می‌شود، در استخراج خصوصیات، به شکل فشرده، برای ویژگی‌های مهم مختلف مانند تعادل و متعامد بودن در یک تنظیم کلی چند عاملی بسیار مفید است.

Factorial designs were introduced and popularized by Fisher (1935). Among the early authors, Yates (1937) considered both symmetric and asymmetric factorial designs. Bose and Kishen (1940) and Bose (1947) developed a mathematical theory for symmetric priIi't&-powered factorials while Nair and Roo (1941, 1942, 1948) introduced and explored balanced confounded designs for the asymmetric case. Since then, over the last four decades, there has been a rapid growth of research in factorial designs and a considerable interest is still continuing. Kurkjian and Zelen (1962, 1963) introduced a tensor calculus for factorial arrangements which, as pointed out by Federer (1980), represents a powerful statistical analytic tool in the context of factorial designs. Kurkjian and Zelen (1963) gave the analysis of block designs using the calculus and Zelen and Federer (1964) applied it to the analysis of designs with two-way elimination of heterogeneity. Zelen and Federer (1965) used the calculus for the analysis of designs having several classifications with unequal replications, no empty cells and with all the interactions present. Federer and Zelen (1966) considered applications of the calculus for factorial experiments when the treatments are not all equally replicated, and Paik and Federer (1974) provided extensions to when some of the treatment combinations are not included in the experiment. The calculus, which involves the use of Kronecker products of matrices, is extremely helpful in deriving characterizations, in a compact form, for various important features like balance and orthogonality in a general multifactor setting.