探検！数の密林・数論の迷宮

序
第1章　数の密林・生い茂る素数
	素数の無限性
	フェルマー数の森
	メルセンヌ数の森
	「素数の無限性」：オイラーの証明
	第1章の予備知識
	第1章の問題
第2章　迷宮！ シルヴェスター数の森
	探検課題：互いに素な正整数の組
	シルヴェスター数の森の探検
	「鏡の森」のシルヴェスター
	第2章の問題
第3章　数の森の F-位相
	素数の無限性：「位相」による証明
	素数が定める Z の位相
	解明： Z の F-位相
	中国式剰余定理
	素数の無限性： J-根基による別証明
	第3章の問題
第4章　整数の極限=End の構造
	(-1)x(-1)=+1 の証明？？
	可換群の自己準同型環
	巡回群の自己準同型環
	Q/Zの自己準同型環
	射影極限
	射影極限とp進整数環
	アデール環と近似定理
	第4章の問題
第5章　p進数の森とヘンゼル
	p進整数 Z_p（復習）
	p進数のp進展開表示
	p進2次無理数
	ヘンゼルの補題
	定理5.2の証明
	第5章の問題
第6章　p進数の森とガロア
	既約多項式と根体
	体の付値と付値環
	p進付値の延長と一意性
	Q_p のガロア拡大と可解性
	有限体の代数拡大
	定理 R の証明
	第6章の補足：方程式のガロア群
第7章　多項式の樹林とニュートン
	ニュートン多角形
	定理7.1の意味と別証明
	2項係数と指数関数多項式
第8章　迷宮（？）パスカルの三角形
	不思議の森（？）パスカルの三角形
	「還元鏡」で見るパスカルの三角形
	2項係数の2進付値
	v_p(\dbinom{n}{i}) のフラクタル性
	第8章の問題
第9章　ゼータの森の水脈
	ゼータの値と2項係数の逆数和
	数列のm階差分公式
	\dbinom{2n}{n} の大きさの評価
	スターリングの公式
	無限級数のオイラー変換
	等式(9.1)の証明
	等式(9.2)の証明
	ζ(3) の級数表示とアペリの恒等式
	ζ(4), ζ(5) の級数表示と2項係数
第10章　無理数の森・連分数の小径
	出発の前に
	無理数（＝通約不能量）の発見
	\sqrt{2} の通約不能性
	「無理数」の森の奥行き
	「互減法」から「連分数」ヘ
	「無理数」の連分数展開
	循環連分数と2次無理数
	連分数の幾何学
	「連分数」とモジュラー群
	eの連分数展開
	eの異なる定義
第11章　未踏の樹海：関数項の連分数
	一般連分数
	べき級数の一般連分数表示
	ガウスの超幾何級数と連分数
	初等関数とその連分数展開
	ラマヌジャンの連分数
第12章　双眼鏡（バイナリスコープ）で見る素数の森
	正整数の2進展開と2項分布
	2進展開でみる素数の分布
	f_p(X) の既約性
第13章　森の広場（スクェア）：素数たちの饗宴
	素数の学校の「クラス分け」
	「平方数」： F^2 = ふたりの「F」
	平方剰余記号
	第1証明：無限降下法
	第2証明：ガウスの整数環
	第3証明：ヤコブスタールの定理
	楕円曲線と F_p -有理点
	再訪：ヤコブスタール和
	「平方」： L^2 =2つの 「L-関数」
	Hasse-Weil の「評価式」
	第4証明： 2項係数 \dbinom{2n}{n} 再登場
	第5証明：互除法と連分数
	第6証明：ガウス和・ヤコビ和を用いる
	平方剰余の「相互法則」
索引