グレブナー道場

入門の心得
諸注意
目次
第1章 グレブナー基底の伊呂波　日比孝之
	1.1 多項式環
		1.1.1 単項式と多項式
		1.1.2 Dicksonの補題
		1.1.3 イデアル
		1.1.4 単項式順序
		1.1.5 グレブナー基底
		1.1.6 Hilbert基底定理
	1.2 割り算アルゴリズム
		1.2.1 割り算アルゴリズム
		1.2.2 被約グレブナー基底
	1.3 Buchberger判定法とBuchbergerアルゴリズム
		1.3.1 S多項式
		1.3.2 Buchberger判定法
		1.3.3 Buchbergerアルゴリズム
	1.4 消去理論
		1.4.1 消去定理
		1.4.2 連立方程式の解法
	1.5 トーリックイデアル
		1.5.1 配置行列
		1.5.2 二項式イデアル
		1.5.3 トーリックイデアル
		1.5.4 トーリック環
	1.6 多項式環の剰余環とHilbert函数
		1.6.1 剰余類と剰余環
		1.6.2 Macaulayの定理
		1.6.3 Hilbert函数
	1.7 歴史的背景
	参考文献
第2章 数学ソフトウェア受身稽古　濱田龍義
	2.1 KNOPPIX/Mathの利用
		2.1.1 KNOPPIX/Mathの取得と作成
		2.1.2 KNOPPIX/Mathの起動と終了
		2.1.3 数学ソフトウェア関連について
	2.2 ファイル操作：PCManファイルマネージャの利用
		2.2.1 新規フォルダの作成
		2.2.2 新規テキストファイル
	2.3 端末の利用
		2.3.1 ファイル一覧，ディレクトリの作成，移動
		2.3.2 テキストファイルの表示
		2.3.3 入出力の切り替え
		2.3.4 文字コードの変換
		2.3.5 nkf:Network Kanji Filter
	2.4 数学ドキュメントの作成
		2.4.1 TEXソースコードの作成
		2.4.2 DVIファイルの作成
		2.4.3 PDFファイルの作成
		2.4.4 TEXソースコードの解説
		2.4.5 数式の入力
		2.4.6 TEXに画像を入れる
	2.5 様々な数学ソフトウェア
		2.5.1 動的幾何学ソフトウェアKSEG
		2.5.2 動的数学ソフトウェアGeoGebra
		2.5.3 実代数幾何学のための可視化 surfファミリー
		2.5.4 汎用数式処理システムMaxima
		2.5.5 統計処理ソフトR
	2.6 テキストエディタの活用 : Emacs入門
		2.6.1 Emacsの起動
		2.6.2 テキストの削除，挿入
		2.6.3 複数行の編集
		2.6.4 削除ふたたび
		2.6.5 ポイント／マーク／リージョン
		2.6.6 編集操作のキャンセル
		2.6.7 その他
		2.6.8 日本語の取扱い
		2.6.9 命令の実行，シェルの起動
		2.6.10 数学ソフトウェア環境
	2.7 仮想マシンの利用
		2.7.1 種々の仮想マシン
	2.8 USB-KNOPPIX/Mathの作成
		2.8.1 flash-knoppixの起動
		2.8.2 USBメモリーディスクの用意
		2.8.3 USB起動KNOPPIXの作成手順
		2.8.4 USBメモリーディスクからの起動
		2.8.5 knoppix-data.imgの作成
		2.8.6 USB-KNOPPIX/Mathへの追加
	参考文献
第3章 グレブナー基底の計算法　野呂正行
	3.1 この章の読み方
		3.1.1 この章の構成
		3.1.2 この章を読むための予備知識
	3.2 Buchbergerアルゴリズムの効率化
		3.2.1 不必要なペアの消去
		3.2.2 ペアの選択方法
		3.2.3 斉次化
		3.2.4 Buchbergerアルゴリズム（改良された形）
	3.3 数学ソフトウェアのためのソフトウェア環境
	3.4 Macaulay2, SINGULAR, CoCoA上での計算
		3.4.1 起動方法，ヘルプ，マニュアル
		3.4.2 パッケージ，ライブラリの読み込み，ファイルの読み書き
		3.4.3 基礎環の宣言，項順序と多項式の入力
		3.4.4 グレブナー基底の計算
		3.4.5 イニシャルイデアルの計算
		3.4.6 商および剰余の計算
	3.5 グレブナー基底を用いた種々のイデアル操作
		3.5.1 消去順序
		3.5.2 イデアルの和，積，共通部分
		3.5.3 根基所属判定
		3.5.4 イデアル商，saturation
		3.5.5 根基計算
	3.6 項順序変換
		3.6.1 FGLMアルゴリズム
		3.6.2 Hilbert drivenアルゴリズム
	3.7 加群のグレブナー基底計算
		3.7.1 多項式環上の自由加群における項順序
		3.7.2 加群におけるBuchbergerアルゴリズム
		3.7.3 syzygyの計算
	3.8 Risa/Asir上での計算
		3.8.1 起動方法
		3.8.2 ヘルプ，マニュアル
		3.8.3 ファイルの読み書き
		3.8.4 多項式の入力
		3.8.5 項順序
		3.8.6 グレブナー基底の計算
		3.8.7 イニシャルイデアルの計算
		3.8.8 剰余計算
		3.8.9 消去法
		3.8.10 最小多項式の計算
		3.8.11 0次元イデアルの項順序変換
		3.8.12 イデアル演算
	3.9 Macaulay2によるプログラミングの例
		3.9.1 イデアルの準素分解
		3.9.2 SYCIアルゴリズム
		3.9.3 Macaulay2上での実装
	3.10 章末問題
	3.11 問題の略解
		3.11.1 本文中の問題
		3.11.2 章末問題
	参考文献
第4章 マルコフ基底と実験計画法　青木敏・竹村彰通
	4.1 分割表の条件付検定
		4.1.1 十分統計量
		4.1.2 2×2分割表
		4.1.3 相似検定
		4.1.4 I×J分割表
	4.2 マルコフ基底
		4.2.1 マルコフ基底
		4.2.2 マルコフ基底の例
		4.2.3 マルコフ基底とイデアル
	4.3 実験計画法とマルコフ基底
		4.3.1 2水準実験
		4.3.2 組合せ配置データの解析
		4.3.3 一部実施計画データの解析
	4.4 研究課題
		4.4.1 3元分割表の無3因子交互作用のマルコフ基底に関する話題
		4.4.2 マルコフ基底の計算アルゴリズムとその改良に関する話題
		4.4.3 実験計画データのモデリングに関する話題
	参考文献
第5章 凸多面体とグレブナー基底　大杉英史
	5.1 凸多面体
		5.1.1 凸多面体，凸多面錐
		5.1.2 凸多面体の面
		5.1.3 多面体的複体，扇
	5.2 イニシャルイデアル
		5.2.1 イニシャルイデアル
		5.2.2 重みベクトルと単項式順序
		5.2.3 普遍グレブナー基底
	5.3 グレブナー扇とステイト多面体
		5.3.1 単項イデアルのグレブナー扇
		5.3.2 斉次イデアルのグレブナー扇とステイト多面体
	5.4 トーリックイデアルのステイト多面体
		5.4.1 サーキット集合とGraver基底
		5.4.2 次数の上限
		5.4.3 Lawrence持ち上げ
		5.4.4 ステイト多面体の計算法
	5.5 凸多面体の三角形分割とグレブナー基底
		5.5.1 単模三角形分割
		5.5.2 正則三角形分割
		5.5.3 イニシャル複体
		5.5.4 2次多面体とステイト多面体
	5.6 配置行列にまつわる環論的性質と三角形分割
		5.6.1 辞書式三角形分割と単模配置行列
		5.6.2 逆辞書式三角形分割と圧搾配置行列
		5.6.3 トーリック環の正規性
	5.7 配置行列の例
		5.7.1 有限グラフに付随する配置
		5.7.2 分割表に付随する配置行列
	参考文献
第6章 微分作用素環のグレブナー基底とその応用　高山信毅
	6.1 有理式係数の微分作用素環R におけるグレブナー基底
	6.2 R の0次元イデアルと Pfaffian方程式
	6.3 Pfaffian方程式の解
	6.4 ホロノミック関数
	6.5 ホロノミック関数に対する勾配降下法
	6.6 多項式係数の微分作用素環D におけるグレブナー基底
	6.7 フィルター付けと重みベクトル
	6.8 ホロノミック系
	6.9 D と R の関係
	6.10 積分アルゴリズム
	6.11 積分で定義される関数の最小値問題
	6.12 A-超幾何系
	6.13 おわりに
	参考文献
第7章 例題と解答　中山洋将・西山絢太
	7.1 ソフトウェアに関する注意
	7.2 マルコフ基底と実験計画法 : 例題と解答
		7.2.1 分割表の条件付検定 (4.1節)
		7.2.2 マルコフ基底 (4.2節)
		7.2.3 実験計画法とマルコフ墓底 (4.3節)
	7.3 凸多面体とグレブナー基底 : 例題と解答
		7.3.1 凸多面体 (5.1節)
		7.3.2 イニシャルイデアル (5.2節)
		7.3.3 グレブナー扇とステイト多面体 (5.3節)
		7.3.4 トーリックイデアルのステイト多面体 (5.4節)
		7.3.5 凸多面体の三角形分割とグレブナー基底 (5.5節)
		7.3.6 配置行列にまつわる環論的性質と三角形分割 (5.6 節)
		7.3.7 配置行列の例 (5.7節)
	7.4 微分作用素環のグレブナー基底とその応用 : 例題と解答
		7.4.1 R におけるグレブナー基底 (6.1節)
		7.4.2 Rの0次元イデアルと Pfaffian方程式 (6.2節)
		7.4.3 Pfaffian方程式の解(6.3節)
		7.4.4 ホロノミック関数 (6.4節)
		7.4.5 ホロノミック関数に対する勾配降下法 (6.5節)
		7.4.6 D におけるグレブナー基底 (6.6節)
		7.4.7 ホロノミック系 (6.8節)
		7.4.8 D と R の関係 (6.9節)
		7.4.9 積分アルゴリズム (6.10節)
		7.4.10 積分で定義される関数の最小値問題 (6.11節)
参考文献
索引
執筆者紹介