数学のなかの物理学 : 幾何学的量子論へむかって

はじめに　物理に対する数学の立場
第1章　素朴な観測論と多様体
	1.1 状態の空間，自由度
		1.1.1 自由度
		1.1.2 点の再定義
		1.1.3 自己同型写像の群
	1.2 同値律と群
		1.2.1 群の作用
		1.2.2 同値関係の設定，均質空間
		1.2.3 クライン幾何学
	1.3 グラスマン代数
		1.3.1 裏表のある面積，体積
		1.3.2 微分形式
		1.3.3 多様体上の外微分環
		1.4 点の内部（無限小近傍）の構造
			1.4.1 Λ^*(n)の場合
			1.4.2 形式的冪級数環
			1.4.3 内部構造として見得るものは何か？
第2章　古典的運動
	2.1 運動の古典的概念
		2.1.1 古典的「点」の運動，f \in O の運動
		2.1.2 リー微分
		2.1.3 さまざまな微分幾何的概念
		2.1.4 共変微分
	2.2 なぜ多様体が必要だったか？
		2.2.1 常微分方程式系と積分曲線
		2.2.2 「数学的存在」の証明
		2.2.3 測地座標系
		2.2.4 自由テンソル代数，その商代数
第3章　不確定性原理
	3.1 運動学と観測
		3.1.1 ハミルトン系
		3.1.2 ポアソン多様休，シンプレクティック多様体
		3.1.3 ニュートンカ学と相対論的ハミルトニアン
	3.2 正準共役量と不確定性
		3.2.1 不確定性
		3.2.2 ハイゼンベルグの危機回避策
		3.2.3 シュレーディンガーの危機回避策
	3.3 時間とエネルギーの共役性
		3.3.1 ヤコビ代数からポアソン代数へ
		3.3.2 リー微分，カルタンの公式
		3.3.3 曖昧ベクトル束と C^∞-局所座標系
第4章　非可換世界の問題点
	4.1 位相代数，位相群
		4.1.1 σ-フレシェ代数
		4.1.2 位相群と均質空間
		4.1.3 直積空間
	4.2 扱うべきものと問題点
		4.2.1 リー群の余随伴表現
		4.2.2 自己共役作用素，代数的Spec(H)
		4.2.3 多様体上の微分作用素環
	4.3 μ-制御代数（非可換世界の手頃なモデル）
		4.3.1 両側イデアル，商代数，冪展開
		4.3.2 特性ベクトル場
		4.3.3 変形理論による量子化の問題
第5章　量子的世界の取り扱い
	5.1 位相付き自由テンソル代数と商代数
		5.1.1 単語位相
		5.1.2 重対称化元の空間とハイゼンベルグ代数
	5.2 ワイル代数とその拡張
		5.2.1 非可換積の構成
		5.2.2 ワイル代数における順序表示と代数の拡張
		5.2.3 積の計算公式
	5.3 自発的結合律の破れと代数の崩壊
		5.3.1 拡張されたワイル空間と真空
		5.3.2 半逆元（反逆元？）
		5.3.3 代数の崩壊
第6章　結合律と対称性
	6.1 *-指数関数
		6.1.1 1次式の *-指数関数
		6.1.2 相互変換(Intertwiner)
		6.1.3 拡張された相互変換の性質
	6.2 1次式の指数関数を使う関数の拡張
		6.2.1 フーリエ変換を使う積の拡張
		6.2.2 ラプラス変換を使う積の拡張
	6.3 実数への制限
		6.3.1 フーリエ変換
		6.3.2 ゲルファント(Gel'fand)の S_a^b-型関数
		6.3.3 *-積代数の拡張
	6.4 *-積の積分表示
		6.4.1 ヘルマンダー(Hörmander)型の振動積分
		6.4.2 ワイル型の振動積分
		6.4.3 O_∞ の取り扱い
第7章　時間発展の方程式
	7.1 2次式の指数関数
		7.1.1 *-指数関数のワイル順序表示
		7.1.2 正規順序表示
	7.2 曖昧被覆群
		7.2.1 多変数の指数関数と積公式
		7.2.2 随伴表現
		7.2.3 実形式と Ad^{-1} (SU(2))
	7.3 2つの逆元と解析接続
		7.3.1 半逆元（反逆的でなくなった）
		7.3.2 解析接続
		7.3.3 いくつかの元の真空表現
	7.4 非解析解の混在する発展方程式
		7.4.1 微分方程式にならない発展方程式
		7.4.2 結合律の破れる理由
		7.4.3 ハイゼンベルグ代数の表現
第8章　シュレーディンガー的世界
	8.1 計量接続，測地座標系
		8.1.1 測地座標系による微分作用素の表示
		8.1.2 多様体上の擬微分作用素
	8.2 ヘルマンダー型擬微分作用素
		8.2.1 多様体上のワイル型擬微分作用素
		8.2.2 作用素の階数
		8.2.3 多様体N上の表象族
		8.2.4 完備性と自己共役性の関係
		8.3 真空表現と R^{2n} 上の擬微分作用素
			8.3.1 積公式
			8.3.2 真空表現
第9章　ハイゼンベルグ的世界の構成問題
	9.1 代数的準備
		9.1.1 余複体
		9.1.2 s-段目の構成問題
	9.2 コホモロジー群
		9.2.1 HH*(C^∞(U); -), HH^2(F^*_U; \textasciicircum) について
		9.2.2 BがM の外微分環(F^*_M; \circ) の場合など
		9.2.3 チェック・コホモロジー
	9.3 構成問題の解法（解説）
		9.3.1 障害定理
		9.3.2 障害が消える場合
		9.3.3 μ-制御代数の真空表現
第10章　ワイル的世界
	10.1 局所化定理と量子ダルブーの定理
		10.1.1 局所生成系
		10.1.2 量子化されたダルブーの定理
		10.1.3 ワイル多様体
	10.2 Super化
		10.2.1 グラスマン代数上の超ポアソン構造
		10.2.2 関数係数のクリフォード代数
		10.2.3 C^2n_Q (M) の F^*_M への作用
	10.3 外微分環の量子化
		10.3.1 曲率テンソルの性質
		10.3.2 共変微分を使うワイル－クリフォード代数
		10.3.3 大域化
	10.4 超多様体
		10.4.1 無限小平行移動
		10.4.2 外微分
第11章　点集合を超えた世界
	11.1 齟齬と曖昧束
		11.1.1 可微分曖昧束
		11.1.2 曖昧主束群，曖昧被覆群
		11.1.3 2次の *-指数関数が生成する“群”
		11.1.4 正規順序表示での指数関数
	11.2 齟齬の概念
		11.2.1 局所接触ワイル代数束貼り合わせの齟齬
		11.2.2 ワイル-クリフォード代数の局所表現空間
		11.2.3 局所スピノル場の齟齬
第12章　汎リー群
	12.1 群論的微分積分と経路積分
		12.1.1 指数型の群
		12.1.2 群論的微分
		12.1.3 群論的積分
	12.2 汎リー群
		12.2.1 汎リー群の基本定理
	12.3 汎リー群の作用
		12.3.1 リー環，無限小作用
		12.3.2 均質空間
		12.3.3 汎リー群の均質空間としての状態空間
	12.4 余随伴軌道
		12.4.1 余随伴軌道上のシンプレクティック構造
おわりに　砂漠の道案内人の弁
参考文献
索引
[25] 大森英樹，量子化された微分幾何学へ向って，『科学』 岩波書店，Vol.50, No.10 (1980), 642-647
[26] 大森英樹，なぜ多様体が必要なのか，『科学』 岩波書店，Vol.52, No.12 (1982), 779-784