大学数学 流形上的微积分

书名页......Page 1
版权页......Page 2
再版序言......Page 3
序言......Page 5
前言......Page 7
目录......Page 10
1.1 n 维欧氏空间......Page 14
1.1.3 n 维欧氏空间中的球状邻域......Page 15
1.1.5 n 维欧氏空间上的连续函数......Page 16
1.1.6 从n 维欧氏空间到m 维欧氏空间的连续映射......Page 17
1.2.1 拓扑......Page 19
1.2.2 拓扑基......Page 20
1.2.3 由拓扑直接派生的基本概念......Page 22
1.2.5 连续映射......Page 23
1.3 常见的拓扑空间......Page 25
1.3.1 度量空间......Page 26
1.3.2 乘积空间......Page 27
1.3.3 商空间......Page 29
1.4.1 分离性公理......Page 31
1.4.2 紧致性......Page 32
1.4.3 局部紧致性......Page 34
1.4.4 * 连通性和道路连通性......Page 37
1.4.5 * 局部连通性和局部道路连通性......Page 38
1.5 习题一......Page 40
2.1.1 拓扑流形......Page 44
2.1.2 局部坐标的变换......Page 45
2.1.3 光滑微分结构......Page 47
2.1.4 光滑流形的例子......Page 48
2.2.1 光滑函数的定义......Page 52
2.2.2 截断函数......Page 53
2.2.3 单位分解定理......Page 55
2.2.4 光滑映射......Page 56
2.3.1 切向量......Page 57
2.3.2 切空间......Page 59
2.3.3 自然基底......Page 60
2.3.4 切向量的分量......Page 62
2.3.5 光滑映射的切映射......Page 64
2.3.6 切映射的坐标表示......Page 66
2.4.1 浸入子流形......Page 67
2.4.2 R3 中的正则曲线和正则曲面......Page 69
2.4.3 光滑函数的水平面......Page 71
2.5.1 光滑切向量场......Page 74
2.5.2 作为微分算子的光滑切向量场......Page 75
2.5.3 Poisson 括号积......Page 77
2.5.4 在光滑映射下相关的光滑切向量场......Page 80
2.6 习题二......Page 82
3.1.1 对偶向量空间......Page 86
3.1.2 对偶基底......Page 87
3.1.3 线性函数的分量的坐标变换公式......Page 88
3.1.4 多重线性函数......Page 90
3.1.5 r 次外形式......Page 91
3.1.6 反对称化算子......Page 92
3.1.7 外形式的外积......Page 95
3.1.8 外形式的坐标表达式......Page 97
3.1.9 外多项式......Page 99
3.2.1 余切向量和余切空间......Page 101
3.2.2 r 次外微分式......Page 102
3.2.3 外微分......Page 103
3.2.4 外微分的运算规则......Page 107
3.2.5 外微分的求值公式......Page 108
3.2.6 拉回映射......Page 109
3.3 可定向光滑流形和带边区域......Page 111
3.3.2 可定向光滑流形......Page 112
3.3.3 可定向性的判别准则......Page 113
3.3.4 带边区域......Page 115
3.3.5 有向光滑流形在带边区域的边界上的诱导定向......Page 116
3.4.1 外微分式的支撑集包含在坐标域内的情形......Page 118
3.4.2 一般情形......Page 119
3.4.3 积分的性质......Page 120
3.4.4 在浸入子流形上的积分......Page 121
3.5.1 Stokes 定理的叙述......Page 124
3.5.2 Stokes 定理的证明......Page 127
3.5.2.1 情形U ∩¶D =   的明......Page 128
3.5.2.2 情形U ∩¶D ≠   的明......Page 129
3.6 习题三......Page 131
4.1.1 欧氏向量空间......Page 139
4.1.2 黎曼流形的定义......Page 140
4.1.3 黎曼流形的例子......Page 141
4.1.4 R3 中的正则曲面......Page 145
4.2.1 n 维欧氏向量空间与其对偶空间的自然同构......Page 147
4.2.2 欧氏向量空间V 和V * 的自然同构在任意的
基底下的表示......Page 148
4.2.3 黎曼流形上的梯度算子......Page 150
4.3.1 R n 上的光滑切向量场的微分......Page 154
4.3.2 黎曼流形上的光滑切向量场的协变微分......Page 159
4.3.3 * 光滑切向量场的分量的协变导数及其坐标
变换公式......Page 161
4.4.1 光滑切向量场的散度......Page 165
4.4.2 散度的局部坐标表达式......Page 166
4.4.3 Laplace 算子......Page 168
4.4.4 单位球面上的Laplace 算子......Page 169
4.5.1 n 维欧氏向量空间中的Hodge 星算子......Page 172
4.5.2 Hodge 星算子在非单位正交基底下的表达式......Page 173
4.5.3 Hodge 星算子在外微分式上的作用......Page 175
4.5.4 R3 中的场论公式......Page 178
4.5.5 有向黎曼流形上的Hodge 星算子和余微分算子......Page 179
4.6 习题四......Page 182
参考文献......Page 185
索引......Page 186