理論物理のための微分幾何学: 可換幾何学から非可換幾何学へ

本書を薦める　河野俊丈
まえがき
目次
第1章　3次元Euclid空間内の曲線と曲面
	1.1 空間内の曲線
		1.1.1 曲線のパラメータ表示
		1.1.2 弧長表示
		1.1.3 Frenet-Serretの公式
		1.1.4 曲率と捩率
	1.2 空間内の曲面
		1.2.1 曲面のパラメータ表示
		1.2.2 曲面上の曲線
		1.2.3 接平面と接空間
	1.3 基本形式
		1.3.1 第一基本形式
		1.3.2 第二基本形式
		1.3.3 主方向と主曲率
		1.3.4 座標変換
	1.4 曲面の曲率
		1.4.1 法曲率と測地曲率
		1.4.2 直裁口
		1.4.3 Gaussの球面表示
		1.4.4 Theorema egregium (驚異の定理)
第2章　曲面における接ベクトル場と微分形式
	2.1 接ベクトル場
		2.1.1 接ベクトル場とその微分
		2.1.2 接ベクトルの平行移動
		2.1.3 座標曲線に沿った平行移動
		2.1.4 測地線
	2.2 共変微分
		2.2.1 接ベクトルに沿う共変微分
		2.2.2 スカラー場とその共変微分
		2.2.3 平行移動と共変微分
		2.2.4 共変微分の性質
	2.3 2変数の微分形式
		2.3.1 微分記号
		2.3.2 微分形式
		2.3.3 外微分
		2.3.4 引き戻し
		2.3.5 微分形式の積分
	2.4 微分形式を用いた曲面の解析
		2.4.1 正規直交標構
		2.4.2 構造式
		2.4.3 基本形式
		2.4.4 Gauss-Bonnetの定理
第3章　多様体
	3.1 多様体の基礎概念
		3.1.1 座標近傍と座標近傍系
		3.1.2 微分構造と可微分多様体
		3.1.3 多様体上の関数
		3.1.4 多様体内の曲線
		3.1.5 多様体間の写像
	3.2 接ベクトル
		3.2.1 方向微分
		3.2.2 局所座標系での方向微分
		3.2.3 接ベクトル空間
	3.3 接ベクトル場
		3.3.1 接ベクトル場
		3.3.2 微分作用素としての接ベクトル場
		3.3.3 接ベクトル場の積分曲線
	3.4 テンソル場とその表現
		3.4.1 テンソル場
		3.4.2 Λ^0(M) に関する多重線形写像
		3.4.3 基底場
		3.4.4 局所座標表現
		3.4.5 標構場と向き付け
		3.4.6 可微分多様体上の微分形式
第4章　可微分多様体上の幾何
	4.1 共変微分
		4.1.1 線形接続と共変微分
		4.1.2 1形式の共変微分
		4.1.3 テンソル場の共変微分
		4.1.4 テンソル場の共変微分再考
		4.1.5 Christoffel 記号の変換性
	4.2 捩率テンソルと曲率テンソル
		4.2.1 捩率テンソル
		4.2.2 積分曲線に沿った接ペクトルの平行移動
		4.2.3 曲率テンソル
		4.2.4 接続形式と曲率形式
		4.2.5 Bianchi の恒等式
	4.3 Riemann接続
		4.3.1 計量
		4.3.2 Riemann接続
		4.3.3 Riemann接続の接続形式
	4.4 擬Riemann多様体
		4.4.1 Riemann曲率テンソル
		4.4.2 断面曲率
		4.4.3 定曲率空間
			N 次元球面
			双曲空間
			(N, M) 型Minkowski空間 (擬Euclid空間)
			Lorentz空間内の超曲面としての双曲空間
第5章　微分形式
	5.1 微分形式
		5.1.1 広義交代形式の場としての微分形式
		5.1.2 微分形式間の外積
		5.1.3 外微分
		5.1.4 内部積
		5.1.5 微分形式に対するHodge作用素
	5.2 引き戻し
		5.2.1 多様体間の写像の微分
		5.2.2 合成写像の微分
		5.2.3 0形式の微分
		5.2.4 微分形式の引き戻し
		5.2.5 微分同相写像によるテンソルの引き戻し
	5.3 微分形式の積分
		5.3.1 部分多様体
		5.3.2 はめ込みと埋め込み
		5.3.3 実直線上の開区間における1形式の積分
		5.3.4 1次元多様体上での1形式の積分
		5.3.5 多様体上での微分形式の積分
		5.3.6 境界をもつ多様体
		5.3.7 Stokesの定理
第6章　非可換代数上の微分
	6.1 Lie代数 su(2), su(3)
		6.1.1 su(2)
		6.1.2 su(3)
	6.2 行列代数上の微分形式
		6.2.1 係数間の関係式
		6.2.2 A(n)上の微分形式
	6.3 非可換代数上の微分形式
		6.3.1 一般非可換代数上の微分形式
		6.3.2 生成子の満たす方程式
	6.4 実制限
第7章　非可換微分幾何学
	7.1 計量
	7.2 接続
		7.2.1 A-左加群上の接続
		7.2.2 両側加群上の接続
		7.2.3 捩率
	7.3 曲率
		7.3.1 線形接続の曲率
		7.3.2 A(n)の曲率
		7.3.3 D^{(2)} と g との両立条件
第8章　量子空間
	8.1 q変形曲面
		8.1.1 q変形曲面の基本式
		8.1.2 線形接続
		8.1.3 曲率
		8.1.4 無矛盾性
	8.2 h変形曲面とCP不変性の破れ
		8.2.1 h変形曲面の基本式
		8.2.2 線形接続
		8.2.3 曲率，無矛盾性
		8.2.4 CP不変性の破れ
第9章　量子群
	9.1 Hopf代数
		9.1.1 余代数
		9.1.2 双代数
		9.1.3 Hopf代数
	9.2 量子包絡代数 U_q(sl(2,C)) と量子変形群 SL_q(2,C)
		9.2.1 U_q(sl(2,C))
		9.2.2 SL_q(2,C)
		9.2.3 SL_q(2,C) の量子空間への余作用
付録A　ベクトル空間
	A.1 線形写像
	A.2 双対空間と双対基底
	A.3 基底の変換
	A.4 直積空間
	A.5 多重線形写像と多重線形形式
	A.6 テンソル積
付録B　テンソル
	B.1 テンソルの型と変換性
	B.2 縮約
	B.3 ベクトル間の内積
	B.4 テンソル間の内積
	B.5 直交基底
	B.6 テンソルの型の変換
	B.7 多重線形写像としてのテンソル
付録C　対称形式と交代形式
	C.1 置換群
	C.2 多重線形形式の対称性
	C.3 対称形式・交代形式の表現
	C.4 外積
	C.5 交代形式間の内積
	C.6 外積代数
	C.7 Hodge作用素
参考文献
索引