体とガロア理論

まえがき
第1章　環と体
	§1.1 環と体に関する定義
		a) 環と体の定義
		b) 部分環
		c) イデアル
		d) 剰余(類)環
		e) 準同型写像
		f) 商体
	§1.2 可換環の素イデアルと極大イデアル
		a) イデアルの和と積
		b) 素イデアル，極大イデアル
	§1.3 素元分解整域と単項イデアル整域
		a) 素元分解整域
		b) 単項イデアル整域
	§1.4 有理整数環
		a) 有理整数環
		b) Euclid整域
		c) Zの簡単な性質
	§1.5 多項式環
		a) 多項式環の定義
		b) 多項式環の簡単な性質
		c) 多項式の導関数と重根
		d) 体の上の多項式環
		e) 素元分解整域上の多項式環
	§1.6 ベクトル空間
	問題
第2章　代数拡大体
	§2.1 部分体，拡大体
		a) 部分体，拡大体
		b) 素体
	§2.2 単(純)拡大 (I)
	§2.3 代数拡大
	§2.4 線型無関連性(線型離別性)
	§2.5 代数的閉包
	§2.6 正規拡大と多項式の最小分解体
		a) 正規拡大
		b) 最小分解体
	§2.7 1の根
	§2.8 有限体
		a) 有限体
		b) 有限体上の方程式の解
	§2.9 Artin-Dedekind の定理
	§2.10 分離拡大と非分離拡大
		a) 分離多項式，非分離多項式
		b) 共役写像の個数
		c) 分離元，非分離元
		d) 分離拡大，非分離拡大
		e) 純非分離拡大
		f) 分離次数，非分離次数
		g) 完全体
	§2.11 単(純)拡大(II) (原始元の存在)
	§2.12 norm と trace
		a) norm と trace の定義
		b) trace と norm の連鎖律
		c) 分離拡大の norm と trace
		d) 純非分離拡大の norm と trace
		e) 有限次拡大の norm と trace
	§2.13 ベクトル空間のテンソル積
	§2.14 体の合成(代数拡大体の場合)
	問題
第3章　Galois理論
	§3.1 Galois拡大
	§3.2 Galoisの基本定理
	§3.3 Galois拡大に関する諸定理
	§3.4 円分拡大
		平方剰余の相互法則の証明
		第一補充法則
		第二補充法則
		Gaussの和
	§3.5 Galoisコホモロジー(1次元の場合)
	§3.5' GaIoisコホモロジー(非可換の場合)
	§3.6 巡回拡大の例
		a) Kummer拡大(巡回拡大の場合)
		b) Artin-Schreier 拡大
	§3.7 正規底
	§3.8 2項方程式
	§3.9 置換群と可解群
		a) 対称群と交代群
		b) 可移(置換)群
		c) 原始置換群
		d) 可解群
	§3.10 可解拡大とベキ根(による)拡大
		a) 可解拡大
		b) ベキ根(による)拡大
		c) 3次および4次の多項式の Galois群
	§3.11 一般方程式
	§3.12 素数次の方程式
	§3.13 整係数多項式の Galois群の計算
	§3.14 作図の可能性
	§3.15 有限Abel群の指標
	§3.16 Kummer拡大
	§3.17 Wittベクトル (I)
	§3.17' Wittベクトル (II)
	§3.18 Abel p拡大 (標数pの場合)
		a)
		b) 一般にKを標数 P>0 の体とするとき
		c)
		d)
		e) 補題3.44
	問題
第4章　超越拡大体
	§4.0 はじめに
	§4.1 超越基底，超越次元
	§4.2 (体の)代数的独立性
	§4.3 Lürothの定理
	§4.4 整拡大
	§4.5 Noetherの正規化定理
	§4.6 可換環論よりの準備
	§4.7 整拡大と素イデアル
	§4.8 Noether環
	§4.9 代数的集合，Hilbertの零点定理
	§4.10 分離拡大
	§4.10' 分離的に生成された拡大体
	§4.11 準素拡大
	§4.12 正則拡大
	§4.13 微分作用素
	問題
第5章　順序体，実体
	§5.1 順序加群
	§5.2 順序環，順序体
	§5.3 実閉体
	§5.4 順序体としての拡大
	§5.5 実閉包
	問題
第6章　体の付値
	§6.1 付値(乗法付値)
	§6.2 近似定理と独立定理
	§6.3 非Archimedes(的) 付値とArchimedes(的) 付値
	§6.4 完備体
	§6.5 非Archimedes付値体 (主として完備の場合)
		a) 付値環，付値イデアル
		b) Henselの補題
		c) 指数付値
		d) 離散付値
			Eisenstein の定理
			Schönemann の判定条件
		e) Henselの補題の応用
		f) 離散的付値体の位相
	§6.6 Archimedes付値体
	§6.7 一般付値
		a) 一般付値
		b) 付値環
		c) Place
		d) 付値の同値およびplaceの同値
	§6.8 付値の階数
		a) 順序加群の階数
		b) 付値の階数
	§6.9 階数1の一般付値
	§6.10 延長(拡張)定理
		a) Placeの延長(拡張)
		b) 一般付値の延長(拡張)定理
	§6.11 分岐指数，相対次数
	§6.12 付値(乗法付値)の延長
	問題
付録　無限次Galois拡大
参考書
索引