自然科学者のための数学概論　増訂版

増訂版の上梓に際して (1954.07.15)
増訂版の上梓に際して (1960.10.30)
改版にあたって (1982.11)
初版の序 (1931.04.01)
第3版・第4版の序 (1934.02.01, 1947.03.10)
目次
第1章　実函数の微分
	1.1 函数の連続性
	1.2 微分係数
	1.3 函数の和，差，積および商の微分法
	1.4 平均値の定理
	1.5 Taylorの定理
	1.6 函数の展開
	1.7 二つの変数を有する函数の連続性
	1.8 偏微分係数
	1.9 微分順序の交換
	1.10 全微分
	1.11 方向微分
	1.12 Taylorの定理の拡張
	1.13 陰函数の微分法
	1.14 函数行列式
	1.15 函数行列式の一性質
	1.16 行列式の微分
	第1章　問題
		Q1-4
		Q5-14
		Q15-23
		A2-20
		A21
第2章　微分幾何
	2.1 空間曲線の接線と法平面
	2.2 接触平面と曲率
	2.3 空間曲線の三稜
	2.4 曲線の捩率
	2.5 曲面の接平面と法線
	2.6 曲面の規格量
	2.7 二曲線間の角と面積要素
	2.8 曲面の曲率
	2.9 曲面の主曲率
	2.10 曲面の形態
	2.11 共役方向と曲率線
	2.12 測地線
	2.13 曲線座標
	2.14 曲線座標に関する諸関係
	2.15 円柱座標と球座標
	2.16 回転曲面
	2.17 楕円座標
	第2章　問題
		Q1-12
		Q13-25
		Q26
		A2-10
		A14-26
第3章　実函数の積分
	3.1 Riemann積分
	3.2 積分の定義の拡張
	3.3 積分学の平均値の定理
	3.4 多くの変数の函数の積分
	3.5 積分変数の変換
	3.6 パラメータを含む函数の積分
	3.7 定積分の例題
	3.8 Dirichletの積分
	3.9 Fourier積分
	3.10 曲線積分
	3.11 曲面積分
	3.12 Gaussの積分定理
	3.13 Greenの定理
	3.14 Greenの公式
	3.15 Stokesの定理
	3.16 立体角
	3.17 微分式の変換
	第3章　問題
		Q1-8
		Q9-20
		Q21-25
		A2-A11
		A12-24
第4章　無限級数
	4.1 無限級数の収束
	4.2 絶対収束級数
	4.3 条件づき収束級数
	4.4 級数の乗法
	4.5 Cesàroの総和法
	4.6 二重級数
	4.7 函数列および級数の一様収束
	4.8 一様収束級数の性質
	4.9 ベキ級数
	4.10 Abelの定理
	4.11 直交函数系
	4.12 近似多項式定理
	4.13 Hermite および Laguerre の多項式
	4.14 Fourier級数
	4.15 Fourier級数の種々の形
	4.16 Fourier級数の例題
	4.17 漸近級数
	4.18 無限乗積
	4.19 無限乗積の一様収束
	第4章　問題
		Q1-8
		Q9-18
		Q19-23
		Q24-28
		A4-21
		A22-27
第5章　複素変数の函数
	5.1 複素数の初等演算
	5.2 極限値と級数
	5.3 函数の連続性
	5.4 微分係数
	5.5 初等函数
	5.6 等角写像
	5.7 一価函数の特異点
	5.8 多価函数と分岐点
	5.9 Riemann面
	5.10 複素函数の積分
	5.11 留数の定理
	5.12 実函数の積分
	5.13 有理函数の積分
	5.14 Cauchyの積分表示
	5.15 Taylorの定理
	5.16 解析接続
	5.17 Laurentの定理
	5.18 函数の有理分数表示
	5.19 函数の無限乗積表示
	5.20 Γ函数
	5.21 Γ函数の応用例
		[1] Wallisの公式
		[2]
		[3]
		[4]
		[5]
		[6]
		[7] Stirlingの公式
	5.22 楕円積分
	第5章　問題
		Q1-3
		Q4-17
		Q18-24
		Q25-34
		A2-30
		A31-33
第6章　微分方程式の初等解法
	6.1 一階常微分方程式
	6.2 解の存在
	6.3 簡単な一階微分方程式(第一)
		[1] 変数の分離
		[2] 同次形
		[3] 一階線型微分方程式
		[4] 全微分方程式
	6.4 積分因数
	6.5 簡単な一階微分方程式(第二)
		[5] Lagrangeの方程式
	6.6 特異解
	6.7 直交曲線
	6.8 二階微分方程式
	6.9 階数を下げること
	6.10 定数変化法
	6.11 不定係数法
	6.12 連立微分方程式
		例1 力場と力線
		例2 曲面群の直交曲線
	6.13 第一積分
	6.14 三つの変数を含む全微分方程式
	6.15 定積分による解法
	第6章　問題
		Q1-3
		Q4-15
		Q16-19
		A1-14
		A17-18
第7章　線型微分方程式
	7.1 二階線型微分方程式
	7.2 基準形
	7.3 同次線型微分方程式
	7.4 線型微分方程式
	7.5 定係数の同次線型微分方程式
	7.6 定係数の線型微分方程式
	7.7 連立一階線型微分方程式
	7.8 定係数の連立一階線型微分方程式
	7.9 質点系の小振動
	7.10 二階線型微分方程式の解の根
	7.11 複素変数の線型微分方程式
	7.12 確定特異点付近の解
	7.13 前節の特別な場合. Frobeniusの方法
	7.14 Riemannの微分方程式
	7.15 超幾何微分方程式
	7.16 Legendreの微分方程式
	7.17 Besselの微分方程式
	第7章　問題
		Q1-6
		Q7-17
		Q18-26
		A1-10
		A13-16
		A20-25
第8章　偏微分方程式
	8.1 一階偏微分方程式
	8.2 一階偏微分方程式の構成
	8.3 一階線型偏微分方程式
	8.4 解の分類
	8.5 Charpitの方法
	8.6 Jacobiの方法
	8.7 Hamilton-Jacobiの方程式
		Hamiltonの正準方程式
		Jacobiの定理
	8.8 二階偏微分方程式
	8.9 Mongeの方法
	8.10 二階線型偏微分方程式
	8.11 定係数の二階線型偏微分方程式
	8.12 定積分による解法
		Whittakerの解
		Forsythの解
	8.13 初期値問題
		熱伝導方程式
		一次元の波動方程式
	8.14 境界値問題
	第8章　問題
		Q1-13
		Q14-19
		A1-8
		A11-19
第9章　実函数の変分
	9.1 変分学の問題
	9.2 第一変分
	9.3 Eulerの微分方程式
	9.4 簡単な例題
		最速曲線
	9.5 多くの函数の場合
	9.6 高階の導函数を含む場合
	9.7 多くの独立変数がある場合
	9.8 定数の変値
	9.9 変じうる境界条件(第一)
	9.10 変じうる境界条件(第二)
	9.11 等周問題
		弾性曲線
	9.12 条件付変分法
	第9章　問題
		Q1-5
		Ritzの方法
		Q6-11
		Q12
		A1-12
第10章　球函数
	10.1 Legendreの多項式
		Rodriguesの公式
	10.2 Schläfliの積分
		Legendre函数
	10.3 第一種 Legendre函数の漸化式
	10.4 第一種 Legendre函数の積分表示
		Laplace の第一積分
		Laplace の第二積分
		Dirichlet の積分
	10.5 第一種 Legendre函数を含む積分
	10.6 Legendreの多項式による函数の展開
	10.7 Legendreの多項式の零点とそのグラフ
	10.8 整数次の第二種 Legendre函数
		Neumannの公式
	10.9 一般の第二種 Legendre函数
	10.10 P_n および Q_n の陪函数
		Legendre陪函数
	10.11 Heineの陪函数
	10.12 球函数
	10.13 球面函数の積分定理
	10.14 球函数による函数の展開
	10.15 球面分布によるポテンシャル
	10.16 円輪と円板のポテンシャル
	第10章　問題
		Q1-7
		Q8-14
		Q16-23
		Q24-25
		A1-21
		A22-25
第11章　円柱函数
	11.1 Bessel函数
	11.2 J函数の加法定理
		Gegenbauer の加法定理
	11.3 円柱函数の基本関係
	11.4 J函数を含む簡単な積分
	11.5 Lommelの積分定理
	11.6 J函数の零点
	11.7 J函数による函数の展開
		Besselの展開
		Diniの展開
		Fourier-Besselの展開
		Besselの問題
		Schlömilchの展開
	11.8 第二種円柱函数
		Neumann函数
	11.9 J函数と Y函数との関係
		Lommelの式
	11.10 次数が半奇数のJ函数とY函数
	11.11 複素積分による解法
	11.12 第三種円柱函数
		Hankelの第一および第二函数
	11.13 H函数と J函数，Y函数との関係
	11.14 複素積分による他の解法
	11.15 円柱函数の漸近級数
		Hankelの積分
	11.16 Hankelの逆関係
	11.17 円柱函数で解きうる微分方程式
		Riccati の微分方程式
	11.18 Bessel函数の変形
		変形Bessel函数
	11.19 ber, bei, ker, kei 函数
	第11章　問題
		Q1-6
		Q7-14
		Q15-21
		Q22-27
		A2-A18
		A20-26
第12章　楕円函数
	12.1 周期函数
	12.2 周期函数の性質
	12.3 楕円函数
		楕円函数の位数
		Abelの定理
	12.4 二位の楕円函数
	12.5 Weierstrassの楕円函数
	12.6 ℘ 函数の導函数
	12.7 ℘ 函数の展開式
	12.8 ℘ 函数の加法定理
	12.9 ℘ の逆函数
	12.10 ζ 函数
		Legendreの関係式
	12.11 σ 函数
	12.12 ζ 函数の加法定理
	12.13 楕円函数の表示法
	12.14 σ_n 函数
	12.15 θ 函数
	12.16 θ(0) の値
	12.17 θ 函数の展開
	12.18 Jacobiの虚数変換
	12.19 Jacobiの楕円函数
	12.20 sn 函数の加法定理
	12.21 ℘ 函数と sn 函数との関係
	12.22 σ 函数と θ 函数との関係
	12.23 θ, Z 函数
	12.24 楕円函数の計算
	12.25 楕円積分 (I)
	12.26 楕円積分 (II)
	第12章　問題
		Q1-3
		Q4-11
		Q13-17
		Q18-22
		A2-18
		A20-22
第13章　積分方程式
	13.1 積分方程式の種類
	13.2 Volterraの第二種積分方程式
	13.3 Volterraの第一種積分方程式
	13.4 Abelの問題
	13.5 Fredholmの第二種積分方程式
		Neumannの級数
	13.6 Fredholmの解法
		Fredholmの行列式
	13.7 D(λl) の小函数
	13.8 D(λ)=0 と同次積分方程式
	13.9 共役積分方程式
	13.10 D(λ)=0 と第二種積分方程式
	13.11 固有値および固有函数
		共役固有函数
	13.12 対称核
		Schwarzの不等式
	13.13 固有函数による核の展開
	13.15 固有函数による任意の函数の展開
		Hilbertの公式
	13.16 Schmidtの解法
		Schmidtの級数
	第13章　問題
		Q1-11
		Q12-23
		Q24-26
		A1-16
		A17-25
第14章　境界値問題
	14.1 常微分方程式と境界値
	14.2 Green函数
	14.3 同次でない微分方程式
	14.4 同次型境界値問題
	14.5 同次型境界値問題の例
	14.6 特殊の場合
	14.7 同次型でない境界値問題
	14.8 広義のGreen函数
	14.9 二つの変数に対するGreen函数
	14.10 楕円型同次微分方程式
	14.11 写像函数の応用
	14.12 楕円型微分方程式
	14.13 三つの変数に対するGreen函数
	14.14 ポテンシャルに関する境界値問題
	14.15 Neumann問題
	14.16 球に関するDirichlet問題
	14.17 球に関するNeumann問題
	14.18 変数分離によるLaplaceの方程式の解法
	14.19 Riemann積分法
		Riemannの函数
	14.20 Riemann積分法の応用例
		電信方程式
	14.21 電信方程式
		Cauchyの方法
	14.22 波動方程式のCauchyの解法
		Poissonの解
	14.23 熱伝導方程式
	14.24 球の中の熱伝導
		Helmholtzの方程式
	第14章　問題
		Q1-5
		Q6-17
		A1
		A2-16
		A17
付録
	1. 実数の性質，区間縮小法，単調函数の性質
	2. 実数の集合，上限と下限
	3. 集積点，閉集合，開集合
	4. 二次元以上の点集合
	5. Cauchyの収束条件
	6. 一様連続性
	7. 積分の性質
問題解答と註
索引