3D Rotations: Parameter Computation and Lie Algebra based Optimization

تحلیل چرخش سه بعدی به لطف توسعه رایانه ها به طور گسترده در مسائل روزمره با آن مواجه می شود. سنجش سه بعدی با استفاده از دوربین ها و حسگرها، تجزیه و تحلیل و مدل سازی سه بعدی برای بینایی کامپیوتر و گرافیک کامپیوتری، و کنترل و شبیه سازی حرکت ربات، همگی نیازمند محاسبه چرخش سه بعدی هستند. این کتاب به جای تحلیل حرکت کلاسیک، بر تحلیل محاسباتی چرخش سه بعدی تمرکز دارد. نویز را به عنوان متغیرهای تصادفی در نظر می گیرد و توزیع احتمال آنها را مدل می کند. همچنین محاسبات آماری بهینه را برای به حداکثر رساندن دقت مورد انتظار، همانطور که در بهینه‌سازی غیرخطی معمول است، دنبال می‌کند. همه مفاهیم با استفاده از برنامه های بینایی کامپیوتری به عنوان مثال نشان داده شده اند.

از نظر ریاضی، مجموعه تمام چرخش های سه بعدی گروهی را تشکیل می دهد که با SO(3) نشان داده می شود. با استفاده از این ویژگی گروهی، بسته به مسئله، یک راه حل بهینه به صورت تحلیلی یا عددی به دست می آوریم. طرح عددی ما، که آن را "روش جبر دروغ" می نامیم، بر اساس ساختار گروه دروغ SO(3) است.

این کتاب همچنین پروژه های محاسباتی را برای خوانندگانی که می خواهند نظریه ها را کدگذاری کنند، پیشنهاد می کند. ارائه شده در این کتاب، توصیف تنظیمات شبیه سازی سه بعدی لازم و همچنین ارائه داده های اندازه گیری سه بعدی GPS واقعی است. برای کمک به خوانندگانی که خیلی با ریاضیات انتزاعی آشنا نیستند، مروری کوتاه بر جبر چهارگانه، تجزیه و تحلیل ماتریس، گروه های دروغ و جبرهای دروغ به عنوان ضمیمه در انتهای جلد ارائه شده است.

3D rotation analysis is widely encountered in everyday problems thanks to the development of computers. Sensing 3D using cameras and sensors, analyzing and modeling 3D for computer vision and computer graphics, and controlling and simulating robot motion all require 3D rotation computation. This book focuses on the computational analysis of 3D rotation, rather than classical motion analysis. It regards noise as random variables and models their probability distributions. It also pursues statistically optimal computation for maximizing the expected accuracy, as is typical of nonlinear optimization. All concepts are illustrated using computer vision applications as examples.

Mathematically, the set of all 3D rotations forms a group denoted by SO(3). Exploiting this group property, we obtain an optimal solution analytical or numerically, depending on the problem. Our numerical scheme, which we call the "Lie algebra method," is based on the Lie group structure of SO(3).

This book also proposes computing projects for readers who want to code the theories presented in this book, describing necessary 3D simulation setting as well as providing real GPS 3D measurement data. To help readers not very familiar with abstract mathematics, a brief overview of quaternion algebra, matrix analysis, Lie groups, and Lie algebras is provided as Appendix at the end of the volume.