常微分方程手册

记号
第一部分 一般解法
第一章 一阶微分方程
       1.已解出导数的微分方程：y′=f(x,y)；基本概念
          1.1.微分方程的表示法和几何意义
          1.2.解的存在和唯一性
       2.已解出导数的微分方程：y′=f(x,y)；解法
          2.1.折线法
          2.2.皮卡尔-林德略夫逐次逼近法
          2.3.幂级数的应用
          2.4.级数展开的更一般的情况
          2.5.按参数展开的级数
          2.6.同偏微分方程的联系
          2.7.估值定理
          2.8.对于大的x值解的性状
       3.未解出导数的微分方程：f(y′,y,x)=0
          3.1.关于解和解法
          3.2.正则线素和奇异线素
       4.特殊类型的一阶微分方程的解
          4.1.可分离变量的微分方程
          4.2.y′=f(ax+by+c)
          4.3.线性微分方程
          4.4.线性微分方程解的渐近性质
          4.5.伯努利方程.y′+f(x)y+g(x)yᵅ=0
          4.6.齐次微分方程与可化为齐次的微分方程
          4.7.广义齐次方程
          4.8.特殊的黎卡提方程：y′+ay²=bxᵅ
          4.9.一般的黎卡提方程：y′=f(x)y²+g(x)y+h(x)
          4.10.第一类阿贝耳方程
          4.11.第二类阿贝耳方程
          4.12.全微分方程
          4.13.积分因子
          4.14.f(y′,y,x)=0,“借助于微分的积分法”
          4.15.(a)y=G(x,y′);(b)x=G(y,y′)
          4.16.(a)G(y′,x)=0;(b)G(y′,y)=0
          4.17.(a)y=g(y′);(b)x=g(y′)
          4.18.克莱罗方程
          4.19.拉格朗日-达兰贝尔方程
          4.20.f(x,xy′-y,y′)=0. 勒让德变换
第二章 已解出导数的任意微分方程组
       5.基本概念
          5.1.微分方程组的表示法和几何意义
          5.2.解的存在和唯一性
          5.3.卡拉西奥多里存在定理
          5.4.解对于初始条件和对于参数的依赖性
          5.5.稳定性问题
       6.解法
          6.1.折线法
          6.2.皮卡尔-林德略夫逐次逼近法
          6.3.幂级数的应用
          6.4.同偏微分方程的联系
          6.5.借助于解之间的已知关系简化方程组
          6.6.利用微分法和消元法简化方程组
          6.7.估值定理
       7.自治系统
          7.1.自治系统的定义和几何意义
          7.2.当n=2时，奇点邻域内积分曲线的性状
          7.3.确定奇点类型的准则
第三章 线性微分方程组
       8.任意的线性微分方程组
          8.1.一般注记
          8.2.存在和唯一性定理.解法
          8.3.化非齐次方程组为齐次方程组
          8.4.估值定理
       9.齐次线性方程组
          9.1.解的性质.基本解组
          9.2.存在定理和解法
          9.3.把方程组简化为方程个数较少的方程组
          9.4.共轭微分方程组
          9.5.自共轭微分方程组
          9.6.共轭微分型组；拉格朗日恒等式；格林公式
          9.7.基本解
       10.具有奇点的齐次线性方程组
          10.1.奇点的分类
          10.2.弱奇点
          10.3.强奇点
       11.对于大的x值解的性状
       12.依赖于参数的线性方程组
       13.常系数线性方程组
          13.1.齐次方程组
          13.2.更一般形式的方程组
第四章 任意n阶微分方程
       14.已解出最高阶导数的方程：y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y′,…,y⁽ⁿ⁻¹⁾)
       15.未解出最高阶导数的方程：f(x,y,y′,…,y⁽ⁿ⁾)=0
          15.1.全微分方程
          15.2.广义齐次方程
          15.3.不显含x或y的方程
第五章 n阶线性微分方程
       16.任意的n阶线性微分方程
          16.1.一般注记
          16.2.存在和唯一性定理.解法
          16.3.n-1阶导数的消去法
          16.4.化非齐次微分方程为齐次微分方程
          16.5.对于大的x值解的性状
       17.n阶齐次线性微分方程
          17.1.解的性质和存在定理
          17.2.微分方程的降阶法
          17.3.关于解的零点
          17.4.基本解
          17.5.共轭的、自共轭的和反自共轭的微分型
          17.6.拉格朗日恒等式；狄里克莱公式和格林公式
          17.7.关于共轭方程和全微分方程的解
       18.具有奇点的齐次线性微分方程
          18.1.奇点的分类
          18.2.点x=ζ是正则点或弱奇点的情况
          18.3.点x=∞是正则点或弱奇点的情况
          18.4.点x=ζ是强奇点的情况
          18.5.点x=∞是强奇点的情况
          18.6.具有多项式系数的微分方程
          18.7.具有周期系数的微分方程
          18.8.具有双周期系数的微分方程
          18.9.实变量的情况
       19.利用定积分解线性微分方程
          19.1.一般原理
          19.2.拉普拉斯变换
          19.3.特殊的拉普拉斯变换
          19.4.梅林变换
          19.5.欧拉变换
          19.6.利用二重积分求解
       20.对于大的x值解的性状
          20.1.多项式系数
          20.2.更一般形式的系数
          20.3.连续的系数
          20.4.振荡定理
       21.依赖于参数的n阶线性微分方程
       22.某些特殊类型的n阶线性微分方程
          22.1.常系数齐次微分方程
          22.2.常系数非齐次微分方程
          22.3.欧拉方程
          22.4.拉普拉斯方程
          22.5.具有多项式系数的方程
          22.6.波赫哈默尔方程
第六章 二阶微分方程
       23.二阶非线性微分方程
          23.1.特殊类型的非线性方程的解法
          23.2.某些补充说明
          23.3.极限值定理
          23.4.振荡定理
       24.任意的二阶线性微分方程
          24.1.一般注记
          24.2.某些解法
          24.3.估值定理
       25.二阶齐次线性微分方程
          25.1.二阶线性微分方程的简化
          25.2.关于二阶线性方程简化的进一步说明
          25.3.把解展开为连分数
          25.4.关于解的零点的一般注记
          25.5.在有限区间上解的零点
          25.6.当x→∞时解的性状
          25.7.具有奇点的二阶线性微分方程
          25.8.近似解.渐近解(实变量时)
          25.9.渐近解(复变量时)
          25.10.WBK法
第七章 三阶和四阶线性微分方程
       26.三阶线性微分方程
       27.四阶线性微分方程
第八章 微分方程的近似积分法
       28.一阶微分方程的近似积分
          28.1.折线法
          28.2.补充半步法
          28.3.龙格-霍伊恩-库塔法
          28.4.插值法和逐次逼近法相结合
          28.5.阿达姆斯法
          28.6.对阿达姆斯法的补充
       29.高阶微分方程的近似积分
          29.1.一阶微分方程组的近似积分法
          29.2.对于二阶微分方程的折线法
          29.3.对于二阶微分方程的龙格-库塔法
          29.4.对于方程y″=f(x,y,y′)的阿达姆斯-施特尔默尔法
          29.5.对于方程y″=f(x,y)的阿达姆斯-施特尔默尔法
          29.6.对于方程y″=f(x,y,y′)的布里斯法

第二部分 边值问题和特征值问题
第一章 n阶线性微分方程的边值问题和特征值问题
       1.边值问题的一般理论
          1.1.表示法和初步注记
          1.2.边值问题的可解性条件
          1.3.共轭边值问题
          1.4.自共轭边值问题
          1.5.格林函数
          1.6.借助于格林函数解非齐次边值问题
          1.7.广义的格林函数
       2.方程Σfᵥ(x)y⁽ᵛ⁾+λg(x)y=f(x)的边值问题和特征值问题
          2.1.特征值和特征函数；特征行列式Δ(λ)
          2.2.共轭特征值问题和格林豫解式；完备双正交系
          2.3.标准化的边界条件；正则特征值问题
          2.4.正则和非正则特征值问题的特征值
          2.5.给定的函数按正则和非正则特征值问题的特征函数之展开
          2.6.标准的自共轭特征值问题
          2.7.关于弗雷德霍姆型积分方程
          2.8.边值问题和弗雷德霍姆型积分方程之间的联系
          2.9.特征值问题和弗雷德霍姆型积分方程之间的联系
          2.10.关于沃尔泰拉型积分方程
          2.11.边值问题和沃尔泰拉型积分方程之间的联系
          2.12.特征值问题和沃尔泰拉型积分方程之间的联系
          2.13.特征值问题和变分法之间的联系
          2.14.按特征函数展开的应用
          2.15.几点补充说明
       3.特征值问题和边值问题的近似解法
          3.1.里兹-伽辽金近似方法
          3.2.格拉梅尔近似方法
          3.3.用里兹-伽辽金方法解非齐次边值问题
          3.4.逐次逼近法
          3.5.应用有限差分法近似求解边值问题和特征值问题
          3.6.扰动方法
          3.7.特征值的估值
          3.8.计算特征值和特征函数几种方法的综述
       4.对于方程F(y)=λG(y)的自共轭特征值问题
          4.1.问题的提法
          4.2.一般的初步注记
          4.3.标准的特征值问题
          4.4.正定的特征值问题
          4.5.按特征函数的展开
       5.更一般形式的边界条件和附加条件
第二章 线性微分方程组的边值问题和特征值问题
       6.线性微分方程组的边值问题和特征值问题
          6.1.表示法和可解性条件
          6.2.共轭边值问题
          6.3.格林矩阵
          6.4.特征值问题
          6.5.自共轭特征值问题
第三章 低阶方程的边值问题和特征值问题
       7.一阶问题
          7.1.线性问题
          7.2.非线性问题
       8.二阶线性边值问题
          8.1.一般注记
          8.2.格林函数
          8.3.第一类边值问题解的估值
          8.4.当|x|→∞时的边界条件
          8.5.求周期解
          8.6.一个同研究流体流动有关的边值问题
       9.二阶线性特征值问题
          9.1.一般注记
          9.2.自共轭特征值问题
          9.3.y′=f(x,λ)z,z′=-g(x,λ)y,边界条件是自共轭的
          9.4.特征值问题和变分原理
          9.5.特征值和特征函数的实际计算
          9.6.不一定是自共轭的特征值问题
          9.7.更一般形式的附加条件
          9.8.含有多个参数的特征值问题
          9.9.在边界点具有奇异性的微分方程
          9.10.无限区间上的特征值问题
       10.二阶非线性边值问题和特征值问题
          10.1.对于有限区间的边值问题
          10.2.对于半无限区间的边值问题
          10.3.特征值问题
       11.三阶至八阶边值问题和特征值问题
          11.1.三阶线性特征值问题
          11.2.四阶线性特征值问题
          11.3.两个二阶微分方程组成的方程组的线性问题
          11.4.四阶非线性边值问题
          11.5.更高阶的特征值问题

第三部分 各种微分方程
几点说明
第一章 一阶微分方程
       1-367.对于y 的一次微分方程
       368-517.对于y′的二次微分方程
       518-544.对于y′的三次微分方程
       545-576.更一般形式的微分方程
第二章 二阶线性微分方程
       1-90.ay″+…
       91-145.(ax+b)y″+…
       146-221.x²y″+…
       222-250.(x²±a²)y″+…
       251-303.(ax²+bx+c)y″+…
       304-341.(ax³+…)y″+…
       342-396.(ax⁴+…)y″+…
       397-410.(axⁿ+…)y″+…；n≥5
       411-445.其他的微分方程
第三章 三阶线性微分方程
第四章 四阶线性微分方程
第五章 五阶和更高阶的线性微分方程
第六章 二阶非线性微分方程
       1-72.ay″=f(x,y,y′)
       73-103.f(x)y″=f(x,y,y′)
       104-187.f(x)yy″=f(x,y,y′)
       188-225.f(x,y)y″=f(x,y,y′)
       226-249.其他的微分方程
第七章 三阶和更高阶的非线性微分方程
第八章 线性微分方程组
       1-18.两个一阶常系数微分方程的方程组
       19-25.两个一阶变系数微分方程的方程组
       26-43.两个高于一阶的微分方程的方程组
       44-57.多于两个微分方程的方程组
第九章 非线性微分方程组
       1-17.两个微分方程的方程组
       18-29.多于两个微分方程的方程组
附录
二阶线性齐次方程的解法(J.兹伯尔尼克)
对E.卡姆克一书的补充(D.米特里诺维奇)
关于一个一阶微分方程(D.米特里诺维奇)
线性微分方程可分解的情况(D.米特里诺维奇)
关于微分方程yy″+f(x)y²=ψ(x)的积分法(T.列寇)
线性微分方程的分类和利用递推公式构造其通解的新方法(J.兹伯尔尼克)
参考文献中采用的缩写
部分外国人姓氏中外文对照表
题目索引