ルベーグ積分講義: ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち

はじめに
目次
第I部　面積とは何か
	第1章　素朴な面積の理論(ルベーグ以前)
		1.1 ジョルダンによる面積の定義
			1.1.1 面積はどうやって測定するか？
				Q1.1
				A1.1
			1.1.2 ジョルダンによる面積の定義
		1.2 ジョルダンの意味で面積が測定できない図形
	第2章　ルベーグの意味の面積
		2.1 有限の世界と無限の世界
		2.2 ルベーグによる面積の定義
		Q2.1-2.2
		Q2.3
		A2.1-2.3
	第3章　面積を測定できる図形とルベーグ測度
		3.1 ルベーグ測度の完全加法性
			Q3.1
			A3.1
		3.2 どのような図形がルベーグ可測か
			3.2.1 ルベーグ測度とジョルダンの意味の面積
			3.2.2 単純な図形のルベーグ測度
			3.2.3 閉集合のルベーグ可測性
			3.2.4 開集合のルベーグ可測性
				Q3.2
				Q3.3-3.4
				A3.2-3.4
			3.2.5 面積を測定できる図形の位相数学的な特徴づけ
				Q3.5
				A3.5
		3.3 外測度が∞の図形のルベーグ可測性について
			Q3.6-3.7
			A3.6
			A3.7
	第4章　ルベーグ測度の代数的および幾何的性質
		4.1 ルベーグ可測集合族の代数と等測包
			Q4.1
			A4.1
		4.2 ルベーグ測度の平行移動と回転不変性について
			Q4.2
			A4.2
	第5章　カラテオドリによるルベーグ可測性の特徴づけ
	第6章　d次元ルベーグ測度
		Q6.1-6.2
		A6.1-6.2
第Il部　ルベーグ積分
	第7章　ルベーグ可測関数
		7.1 ルベーグ可測関数の定義と性質
			Q7.1
			Q7.2-7.3
			A7.1-7.2
			A7.3
		7.2 可測関数の単関数による近似
			Q7.4
			A7.4
	第8章　ルベーグ積分
		8.1 ルベーグ積分の定義
			8.1.1 非負値可測単関数のルベーグ積分
				Q8.1
				A8.1
			8.1.2 非負値可測関数に対するルベーグ積分
				Q8.2-8.3
				A8.2
				A8.3
			8.1.3 実数値• 複素数値可測関数のルベーグ積分
		8.2 「ほとんどすべての点で成り立つ」という考え方
			Q8.4
			A8.4
第III部　ルベーグ積分の重要な定理
	第9章　ルベーグの収束定理
		Q9.1-9.2
		A9.1
		A9.2
	第10章　ルベーグ積分と L^p空間
		10.1 L^p 不等式
			Q10.1-10.4
			A10.1-10.4
		10.2 バナッハ空間と L^p空間
			10.2.1 ルベーグ積分のどのような点が有用なのか？
	第11章　フビニの定理
		11.1 フビニの定理
			Q11.1-11.2
			A11.1-11.2
		11.2 フビニの定理の応用例
			11.2.1 分布等式
				Q11.3-11.4
				A11.3
				A11.4
			11.2.2 ミンコフスキーの積分不等式
			11.2.3 アフィン変換による変数変換
			11.2.4 合成積
第IV部　ルベーグ測度0の不思議な図形とハウスドルフ次元
	第12章　無視できない測度0の図形――カントル集合
		12.1 カントル集合
		12.2 カントルの悪魔の階段
			Q12.1
			A12.1
		12.3 正方形を埋め尽くすほとんどいたるところ微分可能な曲線
			Q12.2-12.3
			A12.2
			A12.3
	第13章不思議な測度0の図形—―ベシコヴィッチ集合
		13.1 ベシコヴィッチ集合と実解析学
		13.2 ペロンの木によるベシコヴィッチ集合の構成
			Q13.1
			Q13.2
			A13.1
			A13.2
	第14章　ハウスドルフ測度
		14.1 曲線の長さ
			Q14.1-14.2
			Q14.3
			A14.1
			A14.2
		14.2 曲線の長さを測定できる1次元ハウスドルフ測度
			Q14.4-14.5
			A14.4-14.5
		14.3 1次元ハウスドルフ測度では測れない曲線
		14.4 s次元ハウスドルフ外測度
			Q14.6-14.7
			A14.6-14.7
		14.5 R^d 上の s 次元ハウスドルフ外測度
			Q14.8-14.11
	第15章　ハウスドルフ次元
		15.1 ハウスドルフ次元
		15.2 さまざまな図形のハウスドルフ次元
			15.2.1 カントル集合のハウスドルフ次元
				Q15.1
				A15.1
			15.2.2 平面上のカントル集合のハウスドルフ次元
			15.2.3 コッホ曲線のハウスドルフ次元
				Q15.2
				A15.2
			15.2.4 シェルピンスキー・ガスケットのハウスドルフ次元
			15.3 定理15.6の証明
				Q15.3
				A15.3
			15.4 アフィン変換とベシコヴィッチ集合
				Q15.4
				A15.4
	第16章　発展的なトピックス—掛谷予想とブルガン予想
		16.1 掛谷集合
		16.2 ブルガン予想
	付録
		付録A　実数の基本的な性質
			A.1 数列の収束
			A.2 上限と下限
		付録B　有界閉集合
		付録C　p進小数
		付録D　可算集合，非可算集合，カントルの定理
		付録E　図形の収束―ハウスドルフ収束
		付録F　ジョルダン可測性の定義について
		付録G　ルベーグ積分に関するいくつかの定理
			G.1 L^p 関数の C^∞ 級関数による近似
			G.2 微分同相写像と積分の変数変換
		付録H　抽象的積分論
			H.1 σ-集合体と抽象的測度
			H.2 測度を基礎にした積分
問題の解答
参考文献
索引