(In-)Stability of Differential Inclusions: Notions, Equivalences, and Lyapunov-like Characterizations

روش های لیاپانوف یکی از ابزارهای اصلی برای تحلیل ویژگی های پایداری سیستم های دینامیکی بوده و هستند. در این مونوگراف، نتایج لیاپانوف که پایداری و پایداری منشأ اجزاء دیفرانسیل را مشخص می‌کند، بررسی می‌شود. برای توصیف ناپایداری و بی ثباتی، توابع لیاپانوف مانند، به نام Chetaev و کنترل توابع Chetaev در مونوگراف، معرفی شده است. بر اساس تعریف آنها و با انعکاس نتایج موجود در مورد پایداری، نتایج آنالوگ برای ناپایداری به دست می‌آید. علاوه بر این، با نگاهی به پویایی یک گنجاندن دیفرانسیل در زمان عقب، شباهت‌ها و تفاوت‌های بین پایداری مبدأ در زمان رو به جلو و ناپایداری در زمان عقب و بالعکس، مورد بحث قرار می‌گیرد. به طور مشابه، تغییر ناپذیری خواص پایداری و ناپایداری تعادل معادلات دیفرانسیل با توجه به مقیاس بندی خلاصه می شود. در نتیجه نهایی، ایده‌هایی که ترکیب کنترل لیاپانوف و کنترل عملکردهای چتایف برای تضمین پایداری همزمان، یعنی همگرایی و بی‌ثباتی، یعنی اجتناب، ترسیم شده‌اند. این کار متوجه محققانی است که در کنترل و همچنین دانشجویان فارغ التحصیل در مهندسی کنترل و ریاضیات کاربردی کار می کنند.

Lyapunov methods have been and are still one of the main tools to analyze the stability properties of dynamical systems. In this monograph, Lyapunov results characterizing the stability and stability of the origin of differential inclusions are reviewed. To characterize instability and destabilizability, Lyapunov-like functions, called Chetaev and control Chetaev functions in the monograph, are introduced. Based on their definition and by mirroring existing results on stability, analogue results for instability are derived. Moreover, by looking at the dynamics of a differential inclusion in backward time, similarities and differences between stability of the origin in forward time and instability in backward time, and vice versa, are discussed. Similarly, the invariance of the stability and instability properties of the equilibria of differential equations with respect to scaling are summarized. As a final result, ideas combining control Lyapunov and control Chetaev functions to simultaneously guarantee stability, i.e., convergence, and instability, i.e., avoidance, are outlined. The work is addressed at researchers working in control as well as graduate students in control engineering and applied mathematics.