Εισαγωγή στη θεωρία των πιθανοτήτων

1 Χώροι πιθανότητας 1
1.1 Παραδείγματα τυχαίων φαινομένων 2
1.2 Χώροι πιθανότητας 6
1.3 Ιδιότητες των πιθανοτήτων 11
1.4 Δεσμευμένη πιθανότητα 16
1.5 Ανεξαρτησία 21
2 Συνδυαστική ανάλυση 31
2.1 Διατεταγμένα δείγματα 32
2.2 Μεταθέσεις 35
2.3 Συνδυασμοί (μη διατεταγμένα δείγματα) 35
2.4 Διαμερίσεις 39
2.5 Ένωση ενδεχομένων 44
2.6 Προβλήματα συμπτώσεων 46
2.7 Προβλήματα κατοχής 49
2.8 Το πλήθος των άδειων δοχείων 51
3 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές 57
3.1 Ορισμοί 58
3.2 Υπολογισμοί με πυκνότητες 66
3.3 Διακριτά τυχαία διανύσματα 70
3.4 Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές 73
3.4.1 Η πολυωνυμική κατανομή 77
3.4.2 Προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την κατανομή Poisson 80
3.5 Απειρες ακολουθίες δοκιμών Bernoulli 81
3.6 Αθροίσματα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών 83
4 Μέση τιμή διακριτών τυχαίων μεταβλητών 97
4.1 Ορισμός της μέσης τιμής 99
4.2 Ιδιότητες της μέσης τιμής 101
4.3 Ροπές 109
4.4 Διασπορά αθροίσματος 115
4.5 Συντελεστής συσχέτισης 118
4.6 Η ανισότητα του Chebyshev 120
5 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές 131
5.1 Τυχαίες μεταβλητές και οι συναρτήσεις κατανομής τους 132
5.1.1 Ιδιότητες των συναρτήσεων κατανομής 135
5.2 Πυκνότητες συνεχών τυχαίων μεταβλητών 139
5.2.1 Τύποι αλλαγής μεταβλητής 141
5.2.2 Συμμετρικές πυκνότητες 147
5.3 Κανονικές πυκνότητες, εκθετικές πυκνότητες και πυκνότητες γάμμα 149
5.3.1 Κανονικές πυκνότητες 149
5.3.2 Εκθετικές πυκνότητες 152
5.3.3 Πυκνότητες γάμμα 154
5.4 Αντίστροφες συναρτήσεις κατανομής 157
6 Πολυδιάστατες κατανομές 167
6.1 Ιδιότητες των διδιάστατων κατανομών 167
6.2 Κατανομή αθροισμάτων και πηλίκων 174
6.2.1 Κατανομή αθροισμάτων 174
6.2.3 Κατανομή πηλίκων 180
6.3 Δεσμευμένες πυκνότητες 183
6.3.1 Ο νόμος του Bayes 186
6.4 Ιδιότητες των πολυδιάστατων κατανομών 189
6.5 Διατεταγμένες στατιστικές συναρτήσεις 192
6.6 Δειγματικές κατανομές 196
6.7 Πολυδιάστατες αλλαγές μεταβλητών 199
7 Μέση τιμή και το Κεντρικό Οριακό θεώρημα 207
7.1 Μέση τιμή συνεχών τυχαίων μεταβλητών 207
7.2 Ένας γενικός ορισμός της μέσης τιμής 209
7.3 Ροπές συνεχών τυχαίων μεταβλητών 211
7.4 Δεσμευμένη μέση τιμή 217
7.5 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα 219
7.5.1 Κανονικές προσεγγίσεις 221
7.5.2 Εφαρμογές στη δειγματοληψία	 226
8 Ροπογεννήτριες και χαρακτηριστικές συναρτήσεις 235
8.1 Ροπογεννήτριες 235
8.2 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 239
8.3 Τύποι αντιστροφής και το Θεώρημα Συνέχειας 245
8.4 Ο Ασθενής Νόμος των Μεγάλων Αριθμών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα 250
9 Τυχαίοι περίπατοι και διαδικασίες Poisson 259
9.1 Τυχαίοι περίπατοι 259
9.2 Απλοί τυχαίοι περίπατοι 263
9.3 Κατασκευή μιας διαδικασίας Poisson 270
9.4 Αποστάσεις σωματιδίων 274
9.5 Χρόνοι αναμονής 276
Απαντήσεις 285
Πίνακας I 300
Ευρετήριο 303